Considere a função horária de uma partícula em movimento retilíneo em uma dimensão com aceleração a constante, velocidade inicial
e posição inicial
A função velocidade instantânea desse movimento é dada por
. Para
e
, em que posição e em quanto tempo, a partir de
, a partícula atinge
? Qual sua velocidade média entre
esse tempo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma situação de movimento retilíneo com aceleração constante. As equações que vamos usar são:
- Posição: $ x(t) = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} $
- Velocidade instantânea: $ v(t) = v_{0} + a t $
Aqui, $ x_{0} $ é a posição inicial, $ v_{0} $ é a velocidade inicial, $ a $ é a aceleração, e $ t $ é o tempo. No nosso caso, temos $ x_{0} = 0 $, $ v_{0} = 0 $ e $ a = 2 , m/s² $. Queremos descobrir em que ponto e quanto tempo a partícula atinge uma velocidade de $ 8 , m/s $, e também qual foi a velocidade média nesse intervalo de tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o tempo $ t $ quando a velocidade $ v(t) $ chega a $ 8 , m/s $. Usando a equação da velocidade:
Substituindo os valores conhecidos:
Resolvendo para $ t $:
Então, a partícula atinge $ 8 , m/s $ após 4 segundos.
Passo 3
Agora, vamos descobrir a posição $ x(t) $ da partícula nesse tempo. Usamos a equação da posição:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Portanto, a partícula está a 16 metros da posição inicial após 4 segundos.
Passo 4
Por fim, vamos calcular a velocidade média entre $ t = 0 $ e $ t = 4 $ segundos. A velocidade média ($ v_{m} $) é dada por:
Já sabemos que $ \Delta x = 16 , metros $ e $ \Delta t = 4 , segundos $. Então:
Resposta
A partícula atinge a velocidade de $ 8 , m/s $ após 4 segundos e está na posição de 16 metros. A velocidade média nesse intervalo de tempo é de 4 m/s.