Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares.
(c) T: R^2 M2(R) ; T(x, y)=[cc2 y & 3 x -y & x+y].

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^2 to M2(R), T(x,y)=2y & 3x[6pt]-y & x+y
é uma transformação linear. Para isso precisamos checar as duas propriedades:
  1. Aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v).
  2. Homogeneidade: T(alpha,u)=alpha,T(u).]

Passo 2

Verificamos a aditividade. Sejam u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2),
e
T(u+v) =2(y1+y2)&3(x1+x2)[4pt]-(y1+y2)&(x1+x2)+(y1+y2) =2y1&3x1[4pt]-y1&x1+y1 +2y2&3x2[4pt]-y2&x2+y2 =T(u)+T(v) ]

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Para alphainR e u=(x,y),
alpha,u=(alpha x,;alpha y),
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T(alpha,u) =2(alpha y)&3(alpha x)[4pt]-(alpha y)&(alpha x)+(alpha y) =alpha2y&3x[4pt]-y&x+y =alpha,T(x,y) ]

Resposta

A aplicação T satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é transformação linear.

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