Entre as funções dadas abaixo, verifique quais são transformações lineares.
(d) T: P3(R) P2(R) ; T(a x^3+b x^2+c x+d)=b x^2+c x+d.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon P3(R) to P2(R),
que a cada polinômio p(x)=a x^3+b x^2+c x+d associa
Tl(p(x)r)=b x^2+c x+d
Para mostrar que T é transformação linear, vamos verificar as duas propriedades principais:
  1. T(p+q)=T(p)+T(q) para quaisquer p,qinP3(R).
  2. T(alpha p)=alpha,T(p) para todo alphainR e pinP3(R).

Passo 2

Sejam
p(x)=a x^3+b x^2+c x+d, q(x)=A x^3+B x^2+C x+D
Então
p(x)+q(x)=(a+A)x^3+(b+B)x^2+(c+C)x+(d+D),
e aplicando T temos
Tl(p+qr) =(b+B)x^2+(c+C)x+(d+D) =(b x^2+c x+d)+(B x^2+C x+D) =T(p)+T(q)

Passo 3

Para alphainR e
p(x)=a x^3+b x^2+c x+d,
temos
alpha,p(x)=(alpha a)x^3+(alpha b)x^2+(alpha c)x+(alpha d)
Logo
T(alpha,p) =(alpha b)x^2+(alpha c)x+(alpha d) =alpha,(b x^2+c x+d) =alpha,T(p)

Resposta

A aplicação T satisfaz ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade, logo T é uma transformação linear.

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