(a) Mostre que o núcleo de
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado fala de uma transformação linear
. Definimos o núcleo de
como
Queremos mostrar que
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto
é subespaço se
-
, - para todo
vale , - para todo
e todo escalar vale .
Passo 2
Mostramos que
. Como
é linear,
Logo
.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob soma. Sejam
. Então
portanto
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
e
um escalar. Então
logo
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.