(a) Mostre que o núcleo de T é um subespaço de V.

Passo 1

O enunciado fala de uma transformação linear T:V to W. Definimos o núcleo de T como
ker(T) = vin V mid T(v)=0W
Queremos mostrar que ker(T) é um subespaço de V. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto Usubseteq V é subespaço se
  1. 0Vin U,
  2. para todo u1,u2in U vale u1+u2in U,
  3. para todo uin U e todo escalar alpha vale alpha uin U.

Passo 2

Mostramos que 0Vinker(T). Como T é linear,
T(0V)=T(0cdot 0V)=0cdot T(0V)=0W
Logo 0Vinker(T).

Passo 3

Mostramos que ker(T) é fechado sob soma. Sejam u,vinker(T). Então
T(u+v)=T(u)+T(v)=0W+0W=0W,
portanto u+vinker(T).

Passo 4

Mostramos que ker(T) é fechado sob multiplicação por escalar. Seja vinker(T) e alpha um escalar. Então
T(alpha v)=alpha,T(v)=alphacdot 0W=0W,
logo alpha vinker(T).

Resposta

Como ker(T) contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que ker(T) é um subespaço de V.

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