Entre as funções dadas a baixo, verifique quais são transformações lineares.
{ }^{*} T: M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} ; T(A)=a-b-c-d, onde A=(lla & b c & d).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon M2times 2(R) to R, Tl(Ar) = a - b - c - d
é uma transformação linear, onde
A = a & b [6pt] c & d
O conteúdo teórico que vamos usar é a definição de transformação linear: T é linear se, para quaisquer matrizes A,B em M2times 2(R) e escalar k in R, valerem
1. T(A+B) = T(A) + T(B) (aditividade)
2. T(kA) = k cdot T(A) (homogeneidade)]

Passo 2

Verificação da aditividade. Se
A = a & b c & d e B = a' & b' c' & d',
então
A+B = a+a' & b+b' c+c' & d+d',
logo
T(A+B) = (a+a') - (b+b') - (c+c') - (d+d') = (a - b - c - d) + (a' - b' - c' - d') = T(A) + T(B)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Para kinR,
kA = ka & kb kc & kd,
então
T(kA) = (ka) - (kb) - (kc) - (kd) = k,(a - b - c - d) = k,T(A)

Passo 4

Como ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade são satisfeitas, T é de fato uma transformação linear.

Resposta

T é transformação linear.

Exercícios relacionados