Entre as funções dadas a baixo, verifique quais são transformações lineares.
T: R^2 R^3 ; T(x, y)=(x+y, x-y, y).

Passo 1

O enunciado dá a transformação
Tcolon R^2toR^3, T(x,y)=(x+y,;x-y,;y)
e pede para verificar se T é linear. Vamos usar as duas propriedades fundamentais de uma transformação linear:
  1. aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v)
  2. homogeneidade: T(c,u)=c,T(u)

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u+v=(x1+x2,,y1+y2)
e
T(u+v)=l((x1+x2)+(y1+y2),;(x1+x2)-(y1+y2),;y1+y2r)
Por outro lado,
T(u)+T(v)=(x1+y1,,x1-y1,,y1)+(x2+y2,,x2-y2,,y2),
que é
l(x1+y1+x2+y2,;x1-y1+x2-y2,;y1+y2r)
Como essas duas expressões coincidem, T satisfaz a aditividade.

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja cinR e u=(x,y). Então
c,u=(c,x,c,y)
e
T(c,u)=l(c,x+c,y,;c,x-c,y,;c,yr)=c,(x+y,;x-y,;y)=c,T(u)
Portanto, T satisfaz a homogeneidade.

Resposta

A transformação T(x,y)=(x+y,;x-y,;y) é linear.

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