Seja
um espaço com produto interno. Para um vetor fixo
em
, defina
por
. Demonstre que T é uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado nos dá um espaço vetorial
com um produto interno
e um vetor fixo
. Define-se a aplicação
O que precisamos mostrar é que
satisfaz as duas propriedades de linearidade: aditividade e homogeneidade, que decorrem das propriedades do produto interno.
Passo 2
Verificamos a aditividade, isto é, mostramos que para quaisquer
vale
De fato, usando a bilinearidade (linearidade na primeira componente) do produto interno, temos
Passo 3
Agora verificamos a homogeneidade, ou seja, que para todo
e
vale
Usando a propriedade de escalabilidade do produto interno na primeira componente, obtemos
Resposta
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que
é linear.