Seja V um espaço com produto interno. Para um vetor fixo v0 em V, defina T: V R por T(v)=lang<= v, v0rang<=. Demonstre que T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado nos dá um espaço vetorial V com um produto interno lang<= cdot,cdotrang<= e um vetor fixo v0in V. Define-se a aplicação
Tcolon V to R, T(v)=lang<= v,v0rang<=
O que precisamos mostrar é que T satisfaz as duas propriedades de linearidade: aditividade e homogeneidade, que decorrem das propriedades do produto interno.

Passo 2

Verificamos a aditividade, isto é, mostramos que para quaisquer u,win V vale
T(u+w)=T(u)+T(w)
De fato, usando a bilinearidade (linearidade na primeira componente) do produto interno, temos
T(u+w)=lang<= u+w,v0rang<= =lang<= u,v0rang<=+lang<= w,v0rang<= =T(u)+T(w)

Passo 3

Agora verificamos a homogeneidade, ou seja, que para todo alphainR e vin V vale
T(alpha v)=alpha,T(v)
Usando a propriedade de escalabilidade do produto interno na primeira componente, obtemos
T(alpha v)=lang<= alpha v,v0rang<= =alpha,lang<= v,v0rang<= =alpha,T(v)

Resposta

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é linear.

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