Para as funções dadas, determine (f ext o g)(x) e (g ext o f)(x).
f(x)=|x-4| sin x, g(x)=xx+1

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=|x-4|sin x,
g(x)=xx+1,
e pede as composições (fcirc g)(x) e (gcirc f)(x). Vamos usar a definição de composição:
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r),
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)

Passo 2

Aplicando a definição em (fcirc g)(x), substituímos x por g(x) em f:
(fcirc g)(x) =fl(g(x)r) =l|,g(x)-4r|,sinl(g(x)r) =l|tfracxx+1-4r|, sin!l(tfracxx+1r)

Passo 3

Para simplificar o termo dentro do valor absoluto, faça
tfracxx+1-4 =x-4(x+1)x+1 =-3x-4x+1
Logo,
l|tfracxx+1-4r| =l|-3x-4r|l|x+1r| =|3x+4||x+1|
Portanto
(fcirc g)(x) =|3x+4||x+1|, sin!l(tfracxx+1r), xneq -1

Passo 4

Agora (gcirc f)(x)=gl(f(x)r). Substituindo x por f(x) em g,
(gcirc f)(x) =f(x)f(x)+1 =|x-4|sin x,|x-4|sin x+1,
O domínio exige f(x)+1neq0, ou seja |x-4|sin xneq -1.

Resposta

(fcirc g)(x) =|3x+4||x+1|, sin!l(tfracxx+1r), xneq -1,
(gcirc f)(x) =|x-4|sin x,|x-4|sin x+1,, |x-4|sin xneq -1

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