Para as funções dadas, determine (f circ g)(x) e (g circ f)(x):
f(x)=(2 x+x^2)^4, g(x)=cos ^2 x

Passo 1

Beleza, temos um exercício de Composição de Funções. Precisamos achar
  1. f(x) = l(2x + x^2r)^4 e g(x) = cos^2 x , ou seja, aplicar primeiro e depois
  2. , que é o inverso: aplicar primeiro e depois
As funções são
Para resolver a gente vai usar a ideia básica de função composta: substituir a saída de uma função como entrada da outra.

Passo 2

Queremos f(t) = l(2t + t^2r)^4 .
  • Primeiro escrevemos fl(g(x)r) = l(2,g(x) + [g(x)]^2r)^4 com uma variável genérica 2,g(x) = 2cos^2 x, [g(x)]^2 = (cos^2 x)^2 = cos^4 x :
(fcirc g)(x) = l(2cos^2 x + cos^4 xr)^4
  • Agora substituímos por :
  • Como , temos
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Passo 3

Agora g(u) = cos^2 u .
  • Primeiro anotamos gl(f(x)r) = cos^2!l(f(x)r) para uma variável genérica (gcirc f)(x) = cos^2!l((2x + x^2)^4r) :
  • Substituímos por :
  • E , então

Resposta

(fcirc g)(x) = l(2cos^2 x + cos^4 xr)^4, (gcirc f)(x) = cos^2!l((2x + x^2)^4r)

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