Para as funções definidas abaixo, determine sua integral definida entre os extremos de seu domínio:
2.
f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} -x^{2} & \text { se }-2 \leq x \leq-1 \\\\ -x & \text { se }-1<x \leq 1 \\\ x^{2} & \text { se } 1<x \leq 2 \end{array} \right.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a integral definida da função f entre os extremos do seu domínio. Ou seja, calcular a integral
\int_{a}^{b} f(x)\,dx
onde os extremos do domínio da função são a=-2 e b=2. As informações dadas sobre f são estas (estou copiando exatamente do enunciado):
f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} -x^{2} & \text{se }-2 \leq x \leq -1,\\[4pt] -x & \text{se }-1 < x \leq 1,\\[4pt] x^{2} & \text{se }1 < x \leq 2. \end{array} \right.
Portanto a integral pedida é
\int_{-2}^{2} f(x)\,dx.]
Passo 2
Estratégia de resolução (explicada de forma didática): como f é definida por partes, vamos usar a propriedade de linearidade e aditividade da integral definida: a integral num intervalo que é união disjunta de subintervalos é a soma das integrais nesses subintervalos. Assim
Usamos linearidade: \int (-x^{2})\,dx = -\int x^{2}\,dx. Uma primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}, logo uma primitiva de -x^{2} é -\dfrac{x^{3}}{3}. Aplicando os limites,
Observação didática (atalho que costuma cair em prova): a função x\mapsto -x é ímpar e o intervalo [-1,1] é simétrico em torno de zero, então a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é 0. Aqui confirmamos isso pelo cálculo.
Comentário final de método: note que deu exatamente zero porque a parte à esquerda (-2 a -1) contribuiu -\tfrac{7}{3}, a parte central zero, e a parte à direita (1 a 2) deu +\tfrac{7}{3}. Isso reflete a simetria ímpar de f em torno de zero; em provas você pode usar essa observação para economizar tempo.