Para as funções definidas abaixo, determine sua integral definida entre os extremos de seu domínio:
2.
f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} -x^{2} & \text { se }-2 \leq x \leq-1 \\\\ -x & \text { se }-1<x \leq 1 \\\ x^{2} & \text { se } 1<x \leq 2 \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a integral definida da função f entre os extremos do seu domínio. Ou seja, calcular a integral
\int_{a}^{b} f(x)\,dx
onde os extremos do domínio da função são a=-2 e b=2. As informações dadas sobre f são estas (estou copiando exatamente do enunciado):
f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} -x^{2} & \text{se }-2 \leq x \leq -1,\\[4pt] -x & \text{se }-1 < x \leq 1,\\[4pt] x^{2} & \text{se }1 < x \leq 2. \end{array} \right.
Portanto a integral pedida é
\int_{-2}^{2} f(x)\,dx.]

Passo 2

Estratégia de resolução (explicada de forma didática): como f é definida por partes, vamos usar a propriedade de linearidade e aditividade da integral definida: a integral num intervalo que é união disjunta de subintervalos é a soma das integrais nesses subintervalos. Assim
\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = \int_{-2}^{-1} (-x^{2})\,dx + \int_{-1}^{1} (-x)\,dx + \int_{1}^{2} x^{2}\,dx.
Também vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva de g (isto é, F'(x)=g(x)), então
\int_{p}^{q} g(x)\,dx = F(q)-F(p).
Para encontrar primitivas usaremos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Exemplos rápidos: \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}+C e \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}+C.

Passo 3

Calcular a primeira integral
\int_{-2}^{-1} (-x^{2})\,dx.
Usamos linearidade: \int (-x^{2})\,dx = -\int x^{2}\,dx. Uma primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}, logo uma primitiva de -x^{2} é -\dfrac{x^{3}}{3}. Aplicando os limites,
\int_{-2}^{-1} (-x^{2})\,dx = \left[-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{-1} = -\frac{(-1)^{3}}{3} - \left(-\frac{(-2)^{3}}{3}\right).
Agora calculamos passo a passo os termos numéricos: (-1)^{3}=-1 e (-2)^{3}=-8. Substituindo,
-\frac{(-1)}{3} - \left(-\frac{(-8)}{3}\right) = -\left(-\frac{1}{3}\right) - \left(-\left(-\frac{8}{3}\right)\right).
Isso pode parecer confuso com tantos sinais; simplificando diretamente a avaliação:
\left[-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{-1} = -\frac{(-1)^{3}}{3} + \frac{(-2)^{3}}{3} = -\left(-\frac{1}{3}\right) + \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{1}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{7}{3}.
Portanto
\int_{-2}^{-1} (-x^{2})\,dx = -\frac{7}{3}.

Passo 4

Calcular a segunda integral
\int_{-1}^{1} (-x)\,dx.
Uma primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}, então uma primitiva de -x é -\dfrac{x^{2}}{2}. Avaliando entre -1 e 1:
\int_{-1}^{1} (-x)\,dx = \left[-\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{1} = \left(-\frac{1^{2}}{2}\right) - \left(-\frac{(-1)^{2}}{2}\right).
Como 1^{2}=(-1)^{2}=1, temos
-\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0.
Observação didática (atalho que costuma cair em prova): a função x\mapsto -x é ímpar e o intervalo [-1,1] é simétrico em torno de zero, então a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é 0. Aqui confirmamos isso pelo cálculo.

Passo 5

Calcular a terceira integral
\int_{1}^{2} x^{2}\,dx.
Usamos a primitiva \dfrac{x^{3}}{3} e avaliamos:
\int_{1}^{2} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.

Passo 6

Somamos as três integrais obtidas:
\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = \left(-\frac{7}{3}\right) + 0 + \frac{7}{3}.
Fazendo a soma obtém-se uma anulação:
-\frac{7}{3} + \frac{7}{3} = 0.
Comentário final de método: note que deu exatamente zero porque a parte à esquerda ( -2 a -1) contribuiu -\tfrac{7}{3}, a parte central zero, e a parte à direita ( 1 a 2) deu +\tfrac{7}{3}. Isso reflete a simetria ímpar de f em torno de zero; em provas você pode usar essa observação para economizar tempo.

Resposta

\;0

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