Determine as áreas delimitadas:
5. Pelas funções
e
.
5. Pelas funções
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede a(s) área(s) delimitada(s) por elas:
Pergunta explícita: determine a(s) área(s) delimitada(s) entre essas curvas (ou seja, a área da região comum limitada por elas).
Informações relevantes dadas:
Não há outras restrições; portanto a região delimitada será entre os pontos de interseção dessas duas curvas.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção resolvendo
.
Montamos a equação quadrática:
Fatoramos (procure dois números cujo produto seja
e soma seja
): esses números são
e
. Logo,
Portanto as raízes são
e
. Esses são os limites da região em
.
Passo 3
Precisamos saber qual função está acima (função “top”) e qual está abaixo (função “bottom”) entre
e
, porque a área entre curvas é
.
Escolhemos um ponto de teste dentro do intervalo, por exemplo
.
Calculamos:
Calculamos:
Como
, concluímos que, para pontos entre
e
,
está acima de
. Logo o integrando será
.
Passo 4
Formulação da integral que dá a área entre as curvas:
A área da região limitada entre
e
por duas curvas em que a curva superior é
e a inferior é
é
A área
Aqui
,
,
e
. Então
Breve explicação do porquê: a integral definida
calcula a “área algébrica” sob a curva
entre
e
. Subtraindo a área sob a curva inferior da área sob a curva superior obtemos a área entre as duas curvas.
Passo 5
Calcular a integral passo a passo.
Primeiro simplificamos o integrando:
Agora encontramos uma primitiva (antiderivada) termo a termo. Lembre que:
- A antiderivada de
é para . - A antiderivada de
é . - A antiderivada de constante
é .
Assim uma primitiva de
é
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliar
em
e em
e subtrair:
Calculamos
:
Calculamos
:
Colocando em denominador comum
:
Agora subtraímos:
Colocando em denominador comum
:
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: obtivemos
. O valor é positivo (como deve ser uma área). A região entre as curvas é um “casquinha” limitada por
e
, com
acima de
.