Determine as áreas delimitadas:
5. Pelas funções f(x)=x^{2} e g(x)=x+2.

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede a(s) área(s) delimitada(s) por elas:
f(x)=x^{2}\quad\text{e}\quad g(x)=x+2.
Pergunta explícita: determine a(s) área(s) delimitada(s) entre essas curvas (ou seja, a área da região comum limitada por elas).
Informações relevantes dadas:
f(x)=x^{2},\qquad g(x)=x+2.
Não há outras restrições; portanto a região delimitada será entre os pontos de interseção dessas duas curvas.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo \;x^{2}=x+2\;.
Montamos a equação quadrática:
x^{2}-x-2=0.
Fatoramos (procure dois números cujo produto seja -2 e soma seja -1): esses números são -2 e 1. Logo,
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Portanto as raízes são \;x=2\; e \;x=-1\;. Esses são os limites da região em x.

Passo 3

Precisamos saber qual função está acima (função “top”) e qual está abaixo (função “bottom”) entre \;x=-1\; e \;x=2\;, porque a área entre curvas é \int_{a}^{b} (\text{top} - \text{bottom})\,dx.
Escolhemos um ponto de teste dentro do intervalo, por exemplo \;x=0\;.
Calculamos:
f(0)=0^{2}=0,\qquad g(0)=0+2=2.
Como g(0)=2>0=f(0), concluímos que, para pontos entre -1 e 2, g(x) está acima de f(x). Logo o integrando será g(x)-f(x).

Passo 4

Formulação da integral que dá a área entre as curvas:
A área A da região limitada entre x=a e x=b por duas curvas em que a curva superior é y=\text{top}(x) e a inferior é y=\text{bottom}(x) é
A=\int_{a}^{b} \big(\text{top}(x)-\text{bottom}(x)\big)\,dx.
Aqui a=-1, b=2, \text{top}(x)=g(x)=x+2 e \text{bottom}(x)=f(x)=x^{2}. Então
A=\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^{2}\big)\,dx.
Breve explicação do porquê: a integral definida \int_{a}^{b} h(x)\,dx calcula a “área algébrica” sob a curva y=h(x) entre a e b. Subtraindo a área sob a curva inferior da área sob a curva superior obtemos a área entre as duas curvas.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo.
Primeiro simplificamos o integrando:
(x+2)-x^{2} = -x^{2}+x+2.
Agora encontramos uma primitiva (antiderivada) termo a termo. Lembre que:
  • A antiderivada de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
  • A antiderivada de x é \dfrac{x^{2}}{2}.
  • A antiderivada de constante 2 é 2x.
Assim uma primitiva de -x^{2}+x+2 é
F(x)=-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+2x.
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliar F(x) em 2 e em -1 e subtrair:
A=F(2)-F(-1).
Calculamos F(2):
F(2)=-\frac{2^{3}}{3}+\frac{2^{2}}{2}+2\cdot 2 =-\frac{8}{3}+\frac{4}{2}+4 =-\frac{8}{3}+2+4 =-\frac{8}{3}+6 =6-\frac{8}{3}=\frac{18-8}{3}=\frac{10}{3}.
Calculamos F(-1):
F(-1)=-\frac{(-1)^{3}}{3}+\frac{(-1)^{2}}{2}+2\cdot(-1) =-\frac{-1}{3}+\frac{1}{2}-2 =\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2.
Colocando em denominador comum 6:
\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}-\frac{12}{6}=\frac{5-12}{6}=-\frac{7}{6}.
Agora subtraímos:
A=F(2)-F(-1)=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{10}{3}+\frac{7}{6}.
Colocando em denominador comum 6:
\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: obtivemos A=\dfrac{9}{2}. O valor é positivo (como deve ser uma área). A região entre as curvas é um “casquinha” limitada por x=-1 e x=2, com g(x) acima de f(x).

Resposta

\dfrac{9}{2}

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