Questão 4. Use os resultados da questão anterior para mostrar que (a) a inércia rotacional de uma casca esférica de raio R é dada por I=\frac{2}{3} M R^{2} e (b) a inércia rotacional de uma esfera sólida é dada por I=\frac{2}{5} M R^{2}.
Sugestão: a parte (a) não requer integração significativa. A parte (b) utiliza:
\frac{d m}{4 \pi r^{2} d r}=\frac{M}{(4 / 3) \pi R^{3}} .

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedem duas coisas separadas:
    • (a) Mostrar que a inércia rotacional de uma casca esférica fina (toda a massa concentrada numa superfície esférica de raio R) é \displaystyle I=\frac{2}{3} M R^{2}.
    • (b) Mostrar que a inércia rotacional de uma esfera sólida maciça de raio R e massa total M é \displaystyle I=\frac{2}{5} M R^{2}.
  • Dado útil / sugestão (pegue isto do enunciado): a relação para a massa de uma camada esférica fina de raio r e espessura dr, \frac{d m}{4\pi r^{2}\,dr}=\frac{M}{(4/3)\pi R^{3}}.Essa relação diz como está distribuída a massa por unidade de volume (densidade) no interior da esfera.
  • Informação implícita que vamos usar: definição de inércia rotacional (momento de inércia) na forma integral I=\int r_{\perp}^{2}\,dm,onde r_{\perp} é a distância perpendicular ao eixo de rotação de cada elemento de massa dm.

Passo 2

Conceitos e estratégia (explicando cada símbolo e por que usar esse caminho).
  • O momento de inércia de um corpo é a soma (ou integral) de cada pedacinho de massa multiplicado pelo quadrado da sua distância ao eixo: I=\int r_{\perp}^{2}\,dm. Aqui:
    • I é o momento de inércia pedido;
    • r_{\perp} é a distância de um elemento de massa dm até o eixo de rotação;
    • dm é a massa desse elemento infinitesimal.
  • Estratégia para (a): a casca esférica é uma superfície esférica de raio fixo R. Podemos decompor a superfície em anéis (círculos) concêntricos em torno do eixo de rotação; cada anel tem massa dm e está a uma distância R\sin\theta do eixo (usar coordenada polar \theta contada a partir do eixo).
  • Estratégia para (b): construir a esfera sólida como empilhamento de cascas esféricas finas de raio r (com 0\le r\le R). Para cada casca podemos usar o resultado de (a) (momento de inércia da casca) e integrar sobre r usando a relação de densidade dada no enunciado.

Passo 3

Parte (a) — cálculo detalhado para a casca esférica.
  • Definir a densidade de superfície da casca: a casca fina tem massa total M distribuída uniformemente sobre a superfície de área 4\pi R^{2}. Assim a densidade superficial é \sigma=\frac{M}{4\pi R^{2}}.(Aqui \sigma tem unidades de massa por área; \sigma é constante porque a casca é uniforme.)
  • Escolher um anel elemento: use coordenada polar \theta medida desde o eixo de rotação. Um anel situado na colatitude \theta (ângulo com o eixo) tem:
    • raio do anel (distância ao eixo): \;R\sin\theta\; (porque é a projeção perpendicular);
    • largura (extensão em direção meridional): R\,d\theta;
    • comprimento (circunferência) do anel: 2\pi(R\sin\theta);
    • área desse anel (circunferência × largura): \;dA = 2\pi R\sin\theta \cdot R\,d\theta = 2\pi R^{2}\sin\theta\,d\theta.
  • Massa do anel: dm=\sigma\,dA. Substituindo \sigma e dA, dm=\frac{M}{4\pi R^{2}}\cdot 2\pi R^{2}\sin\theta\,d\theta=\frac{M}{2}\sin\theta\,d\theta.(Observação: R^{2} cancela; resultou uma expressão simples.)
  • Contribuição desse anel ao momento de inércia: cada partícula do anel está a distância R\sin\theta do eixo, então dI=(R\sin\theta)^{2}\,dm=R^{2}\sin^{2}\theta\cdot\frac{M}{2}\sin\theta\,d\theta=\frac{M R^{2}}{2}\sin^{3}\theta\,d\theta.
  • Integrar \theta de 0 a \pi (cobrindo toda a casca): I=\int_{0}^{\pi} dI=\frac{M R^{2}}{2}\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta.
  • Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta passo a passo:
    • Usar simetria: \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta=2\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta.
    • Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta. Use a identidade \sin^{3}\theta=\sin\theta(1-\cos^{2}\theta) e substituição u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta: \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\theta\,d\theta=\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta(1-\cos^{2}\theta)\,d\theta =\int_{u=1}^{u=0}(1-u^{2})(-du)=\int_{0}^{1}(1-u^{2})\,du.
\int_{0}^{1}(1-u^{2})\,du=\bigl[u-\tfrac{u^{3}}{3}\bigr]_{0}^{1}=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
  • Portanto \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\theta\,d\theta=2\cdot \tfrac{2}{3}=\tfrac{4}{3}.
  • Substituir na expressão de I: I=\frac{M R^{2}}{2}\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}M R^{2}.Assim mostramos (a).

Passo 4

Interpretação curta do resultado de (a) e uso posterior:
  • Resultado obtido: para uma casca esférica fina de massa M e raio R, I_{\text{casca}}=\frac{2}{3}M R^{2}.
  • Esse resultado é exatamente o que será usado para a esfera sólida: cada casca esférica concêntrica (de raio r) que compõe a esfera maciça tem momento de inércia \displaystyle dI=\frac{2}{3}\,dm\;r^{2}, onde dm é a massa dessa casca fina.

Passo 5

Parte (b) — esfera sólida: montar a integral a partir de cascas esféricas e usar a relação dada.
  • Primeiro obter dm da casca de raio r e espessura dr. A densidade volumétrica (massa por volume) da esfera uniforme é \rho=\frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}.A massa de uma casca de raio r e espessura dr (volume aproximado 4\pi r^{2}dr) é dm=\rho\cdot 4\pi r^{2}\,dr=\frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}\cdot 4\pi r^{2}\,dr.Simplificando, dm=\frac{3M}{R^{3}}\,r^{2}\,dr.(Isto é equivalente à relação sugerida no enunciado; aqui foi deduzido explicitamente.)
  • Cada casca tem momento de inércia (usar resultado de (a) aplicado à casca de massa dm e raio r): dI=\frac{2}{3}\,dm\;r^{2}.Substituir dm: dI=\frac{2}{3}\cdot\frac{3M}{R^{3}}\,r^{2}\,dr\cdot r^{2} =\frac{2M}{R^{3}}\,r^{4}\,dr.
  • Integrar r de 0 a R para somar todas as cascas: I=\int_{0}^{R} dI=\frac{2M}{R^{3}}\int_{0}^{R} r^{4}\,dr.
  • Calcular a integral de r^{4}: \int_{0}^{R} r^{4}\,dr=\left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{R}=\frac{R^{5}}{5}.
  • Substituir: I=\frac{2M}{R^{3}}\cdot\frac{R^{5}}{5}=\frac{2}{5}M R^{2}.Assim mostramos (b).

Passo 6

Recapitulando de forma motivadora (curta):
  • Para a casca fina: decompor em anéis, usar densidade superficial e integrar \sin^{3}\theta.
  • Para a esfera maciça: decompor em cascas esféricas finas, usar o resultado da casca e integrar em r.
  • Resultado final obtido de modo direto e sem truques complicados. Boa! Dá pra levar essa estratégia pra outras geometrias também.

Resposta

(a) \displaystyle I=\frac{2}{3} M R^{2}
(b) \displaystyle I=\frac{2}{5} M R^{2}

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