Questão 4. Use os resultados da questão anterior para mostrar que (a) a inércia rotacional de uma casca esférica de raio
é dada por
e (b) a inércia rotacional de uma esfera sólida é dada por
.
Sugestão: a parte (a) não requer integração significativa. A parte (b) utiliza:
Sugestão: a parte (a) não requer integração significativa. A parte (b) utiliza:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pedem duas coisas separadas:
- (a) Mostrar que a inércia rotacional de uma casca esférica fina (toda a massa concentrada numa superfície esférica de raio
) é . - (b) Mostrar que a inércia rotacional de uma esfera sólida maciça de raio
e massa total é .
- (a) Mostrar que a inércia rotacional de uma casca esférica fina (toda a massa concentrada numa superfície esférica de raio
- Dado útil / sugestão (pegue isto do enunciado): a relação para a massa de uma camada esférica fina de raio
e espessura , Essa relação diz como está distribuída a massa por unidade de volume (densidade) no interior da esfera. - Informação implícita que vamos usar: definição de inércia rotacional (momento de inércia) na forma integral
onde é a distância perpendicular ao eixo de rotação de cada elemento de massa .
Passo 2
Conceitos e estratégia (explicando cada símbolo e por que usar esse caminho).
- O momento de inércia de um corpo é a soma (ou integral) de cada pedacinho de massa multiplicado pelo quadrado da sua distância ao eixo:
. Aqui: -
é o momento de inércia pedido; -
é a distância de um elemento de massa até o eixo de rotação; -
é a massa desse elemento infinitesimal.
-
- Estratégia para (a): a casca esférica é uma superfície esférica de raio fixo
. Podemos decompor a superfície em anéis (círculos) concêntricos em torno do eixo de rotação; cada anel tem massa e está a uma distância do eixo (usar coordenada polar contada a partir do eixo). - Estratégia para (b): construir a esfera sólida como empilhamento de cascas esféricas finas de raio
(com ). Para cada casca podemos usar o resultado de (a) (momento de inércia da casca) e integrar sobre usando a relação de densidade dada no enunciado.
Passo 3
Parte (a) — cálculo detalhado para a casca esférica.
- Definir a densidade de superfície da casca: a casca fina tem massa total
distribuída uniformemente sobre a superfície de área . Assim a densidade superficial é (Aqui tem unidades de massa por área; é constante porque a casca é uniforme.) - Escolher um anel elemento: use coordenada polar
medida desde o eixo de rotação. Um anel situado na colatitude (ângulo com o eixo) tem: - raio do anel (distância ao eixo):
(porque é a projeção perpendicular); - largura (extensão em direção meridional):
; - comprimento (circunferência) do anel:
; - área desse anel (circunferência × largura):
- raio do anel (distância ao eixo):
- Massa do anel:
. Substituindo e , (Observação: cancela; resultou uma expressão simples.) - Contribuição desse anel ao momento de inércia: cada partícula do anel está a distância
do eixo, então - Integrar
de a (cobrindo toda a casca): - Calcular a integral
passo a passo: - Usar simetria:
. - Calcular
. Use a identidade e substituição , :
- Usar simetria:
- Portanto
- Substituir na expressão de
: Assim mostramos (a).
Passo 4
Interpretação curta do resultado de (a) e uso posterior:
- Resultado obtido: para uma casca esférica fina de massa
e raio , - Esse resultado é exatamente o que será usado para a esfera sólida: cada casca esférica concêntrica (de raio
) que compõe a esfera maciça tem momento de inércia , onde é a massa dessa casca fina.
Passo 5
Parte (b) — esfera sólida: montar a integral a partir de cascas esféricas e usar a relação dada.
- Primeiro obter
da casca de raio e espessura . A densidade volumétrica (massa por volume) da esfera uniforme é A massa de uma casca de raio e espessura (volume aproximado ) é Simplificando, (Isto é equivalente à relação sugerida no enunciado; aqui foi deduzido explicitamente.) - Cada casca tem momento de inércia (usar resultado de (a) aplicado à casca de massa
e raio ): Substituir : - Integrar
de a para somar todas as cascas: - Calcular a integral de
: - Substituir:
Assim mostramos (b).
Passo 6
Recapitulando de forma motivadora (curta):
- Para a casca fina: decompor em anéis, usar densidade superficial e integrar
. - Para a esfera maciça: decompor em cascas esféricas finas, usar o resultado da casca e integrar em
. - Resultado final obtido de modo direto e sem truques complicados. Boa! Dá pra levar essa estratégia pra outras geometrias também.
Resposta
(a)
(b)