Funções:
Por que a equação abaixo é uma função?
Pi Y(x)=e^cos (x^2-x)x^3

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a relação
Pi Y(x) = e^cosl(x^2 - xr)x^3
é de fato uma função. O conteúdo principal aqui é a definição de função e como determinar seu domínio.

Passo 2

Lembrando a definição: uma função é uma regra que associa a cada elemento x de um conjunto de partida (domínio) exatamente um valor y em outro conjunto (contradomínio). Para provar que algo é uma função, precisamos (i) identificar o domínio, isto é, todos os x para os quais a expressão faz sentido, e (ii) garantir que para cada x desse domínio exista um único valor de saída.

Passo 3

Analisando a expressão
e^cosl(x^2 - xr)x^3,
vemos que:
  1. A parte interna de cos é o polinômio x^2 - x, que está definido para todo real.
  2. A função cos leva R em [-1,1], e e^(cdot) está bem definida para qualquer real.
  3. O único cuidado é a divisão por x^3: para não dividirmos por zero, precisamos ter
x^3 neq 0 Longrightarrow x neq 0

Passo 4

Portanto o domínio natural dessa expressão é
D = R setminus 0
Para cada xin D a sequência de operações (elevar ao quadrado, subtrair, aplicar cosseno, exponenciar e, por fim, dividir por x^3) produz um único número real de saída. Logo, está satisfeita a condição de unicidade do valor associado a cada x.

Resposta

A expressão define uma função
Pi Ycolon Rsetminus0;longrightarrow;R,
pois seu domínio é Rsetminus0 (evitando divisão por zero) e, para cada x desse domínio, o valor
e^cosl(x^2 - xr)x^3
é único.

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