Funções:
Por que a equação abaixo é uma função?
Por que a equação abaixo é uma função?
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a relação
é de fato uma função. O conteúdo principal aqui é a definição de função e como determinar seu domínio.
Passo 2
Lembrando a definição: uma função é uma regra que associa a cada elemento
de um conjunto de partida (domínio) exatamente um valor
em outro conjunto (contradomínio). Para provar que algo é uma função, precisamos (i) identificar o domínio, isto é, todos os
para os quais a expressão faz sentido, e (ii) garantir que para cada
desse domínio exista um único valor de saída.
Passo 3
Analisando a expressão
vemos que:
- A parte interna de
é o polinômio , que está definido para todo real. - A função
leva em , e está bem definida para qualquer real. - O único cuidado é a divisão por
: para não dividirmos por zero, precisamos ter
Passo 4
Portanto o domínio natural dessa expressão é
Para cada
a sequência de operações (elevar ao quadrado, subtrair, aplicar cosseno, exponenciar e, por fim, dividir por
) produz um único número real de saída. Logo, está satisfeita a condição de unicidade do valor associado a cada
.
Resposta
A expressão define uma função
pois seu domínio é
(evitando divisão por zero) e, para cada
desse domínio, o valor
é único.