Seja f(u, v) uma função diferenciável. Se a função sigma(x, y) é definida por sigma(x, y) = f(x - y, y - x), verifique que
sigma_x + sigma_y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função diferenciável e define uma nova função . A missão é verificar que a soma das derivadas parciais de em relação a e é igual a zero, ou seja, .
Para resolver isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , representada por .
Sabemos que:
onde:
Usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
Substituindo esses valores na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , representada por .
Usando novamente a regra da cadeia:

Passo 5

Calculando as derivadas parciais necessárias:
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
Substituindo esses valores na expressão de :

Passo 6

Vamos somar e :

Resposta

Pronto! Mostramos que , conforme o enunciado do exercício.

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