Seja
uma função diferenciável. Se a função
é definida por
, verifique que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função diferenciável
e define uma nova função
. A missão é verificar que a soma das derivadas parciais de
em relação a
e
é igual a zero, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos usar o cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, representada por
.
Sabemos que:
onde:
Usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Substituindo esses valores na expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, representada por
.
Usando novamente a regra da cadeia:
Passo 5
Calculando as derivadas parciais necessárias:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Substituindo esses valores na expressão de
:
Passo 6
Vamos somar
e
:
Resposta
Pronto! Mostramos que
, conforme o enunciado do exercício.