Para as funções nos exercícios 35-40, determine uma fórmula para a soma superior, obtida dividindo-se o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais. Em seguida, considere o limite dessas somas quando n \rightarrow \infty para calcular a área sob a curva ao longo de [a, b].
f(x)=1-x^{2} ao longo do intervalo [0,1].

Passo 1

O enunciado pede a soma superior (upper sum) para a função
f(x)=1 - x^{2}
no intervalo [0,1], dividindo-o em n subintervalos iguais, e depois o limite dessa soma quando n\to\infty para obter a área sob a curva.

Passo 2

Dividimos [0,1] em n pedaços de comprimento
\Delta x = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}.
Os pontos de partição são
x_i = \frac{i}{n},\quad i=0,1,2,\dots,n.
Como f(x)=1 - x^2 é estritamente decrescente em [0,1], o supremo de f em cada subintervalo [x_{i-1},x_i] é f(x_{i-1}).

Passo 3

A soma superior U_n fica então
U_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \Bigl(1 - \bigl(\tfrac{i-1}{n}\bigr)^{2}\Bigr)\,\frac{1}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\Bigl(1 - \frac{(i-1)^{2}}{n^{2}}\Bigr).

Passo 4

Separamos o somatório em duas partes:
U_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}1 \;-\;\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{(i-1)^{2}}{n^{2}} = \frac{n}{n} \;-\;\frac{1}{n^{3}}\sum_{j=0}^{n-1}j^{2}.
Sabemos que
\sum_{j=0}^{n-1}j^{2} = \frac{(n-1)\,n\,(2n-1)}{6}.
Logo
U_n = 1 \;-\;\frac{1}{n^{3}}\cdot \frac{(n-1)\,n\,(2n-1)}{6} = 1 \;-\;\frac{(n-1)(2n-1)}{6\,n^{2}}.

Passo 5

Calculamos o limite de U_n quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}U_n = 1 - \lim_{n\to\infty}\frac{2n^{2}-3n+1}{6n^{2}} = 1 - \frac{2}{6} = \frac{2}{3}.
Esse limite é a área sob f(x) em [0,1].

Resposta

A soma superior é
U_n = 1 - \frac{(n-1)(2n-1)}{6\,n^{2}}
e, tomando o limite n\to\infty, a área sob a curva é
\int_{0}^{1}(1 - x^{2})\,dx = \frac{2}{3}.

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