esboce o gráfico de cada função
no intervalo dado. Divida o intervalo em quatro subintervalos de mesmo comprimento. Depois acrescente ao seu esboço os retângulos associados com a soma de Riemann
tomando
como (a) extremidade esquerda, (b) extremidade direita e (c) ponto médio do
-ésimo subintervalo. (Faça um esboço para cada conjunto de retângulos.)
f(x)=\operatorname{sen} x, \quad[-\pi, \pi]
f(x)=\operatorname{sen} x, \quad[-\pi, \pi]
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico de
em
, dividindo esse intervalo em 4 subintervalos iguais, e em seguida acrescentar os retângulos correspondentes à soma de Riemann
nos três casos: (a)
na extremidade esquerda; (b)
na extremidade direita; (c)
no ponto médio. Vamos usar a definição de soma de Riemann, que consiste em:
- dividir o intervalo em partes iguais;
- escolher um ponto
em cada parte; - calcular
; - desenhar um retângulo de base
e altura .
Passo 2
Dividimos
em 4 subintervalos de comprimento
Os pontos de divisão são
Passo 3
Caso (a):
(extremidade esquerda).
Para o esboço:
– trace o eixo de
a
e o eixo
de
a
,
– marque as retas verticais em ,
– em cada subintervalo desenhe um retângulo de base e altura
:
1º em altura
;
2º em altura
;
3º em altura
;
4º em altura
.
– trace o eixo
– marque as retas verticais em
– em cada subintervalo desenhe um retângulo de base
1º em
2º em
3º em
4º em
Passo 4
Caso (b):
(extremidade direita).
No esboço, sobre cada subintervalo de base
desenhe retângulos com estas alturas:
– :
;
– :
;
– :
;
– :
.
–
–
–
–
Passo 5
Caso (c):
no ponto médio,
.
No esboço, marque esses pontos médios e desenhe retângulos de base
e alturas
, abaixo do eixo quando for negativo e acima quando for positivo.
Resposta
Os retângulos a serem desenhados em cada caso têm, em ordem dos 4 subintervalos, as alturas:
(a) extremidade esquerda:
(a) extremidade esquerda:
(b) extremidade direita:
(c) ponto médio:
Basta então colocar essas alturas sobre cada bloco de base
no esboço do gráfico de
.