esboce o gráfico de cada função f(x) no intervalo dado. Divida o intervalo em quatro subintervalos de mesmo comprimento. Depois acrescente ao seu esboço os retângulos associados com a soma de Riemann \sum_{k=1}^{4} f\left(c_{k}\right) \Delta x_{k} tomando c_{k} como (a) extremidade esquerda, (b) extremidade direita e (c) ponto médio do k-ésimo subintervalo. (Faça um esboço para cada conjunto de retângulos.)
f(x)=\operatorname{sen} x, \quad[-\pi, \pi]

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de f(x)=\sin x em [-\,\pi,\pi], dividindo esse intervalo em 4 subintervalos iguais, e em seguida acrescentar os retângulos correspondentes à soma de Riemann
\sum_{k=1}^{4}f(c_k)\,\Delta x_k
nos três casos: (a) c_k na extremidade esquerda; (b) c_k na extremidade direita; (c) c_k no ponto médio. Vamos usar a definição de soma de Riemann, que consiste em:
  1. dividir o intervalo em partes iguais;
  2. escolher um ponto c_k em cada parte;
  3. calcular f(c_k);
  4. desenhar um retângulo de base \Delta x e altura f(c_k).

Passo 2

Dividimos [-\,\pi,\pi] em 4 subintervalos de comprimento
\Delta x = \frac{\pi - (-\pi)}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.
Os pontos de divisão são
x_0 = -\pi,\quad x_1 = -\tfrac{\pi}{2},\quad x_2 = 0,\quad x_3 = \tfrac{\pi}{2},\quad x_4 = \pi.

Passo 3

Caso (a): c_k = x_{k-1} (extremidade esquerda).
\begin{aligned} c_1 &= x_0 = -\pi,\quad &f(c_1)&=\sin(-\pi)=0,\\\ c_2 &= x_1 = -\tfrac{\pi}{2},\quad &f(c_2)&=\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-1,\\\ c_3 &= x_2 = 0,\quad &f(c_3)&=\sin(0)=0,\\\ c_4 &= x_3 = \tfrac{\pi}{2},\quad &f(c_4)&=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1. \end{aligned}
Para o esboço:
– trace o eixo x de -\pi a \pi e o eixo y de -1 a 1,
– marque as retas verticais em -\pi,-\tfrac{\pi}{2},0,\tfrac{\pi}{2},\pi,
– em cada subintervalo desenhe um retângulo de base \Delta x=\tfrac{\pi}{2} e altura f(c_k):
1º em [-\pi,-\pi/2] altura 0;
2º em [-\pi/2,0] altura -1;
3º em [0,\pi/2] altura 0;
4º em [\pi/2,\pi] altura 1.

Passo 4

Caso (b): c_k = x_k (extremidade direita).
\begin{aligned} c_1 &= x_1 = -\tfrac{\pi}{2},\quad &f(c_1)&=-1,\\\ c_2 &= x_2 = 0,\quad &f(c_2)&=0,\\\ c_3 &= x_3 = \tfrac{\pi}{2},\quad &f(c_3)&=1,\\\ c_4 &= x_4 = \pi,\quad &f(c_4)&=0. \end{aligned}
No esboço, sobre cada subintervalo de base \tfrac{\pi}{2} desenhe retângulos com estas alturas:
[-\pi,-\pi/2]: -1;
[-\pi/2,0]: 0;
[0,\pi/2]: 1;
[\pi/2,\pi]: 0.

Passo 5

Caso (c): c_k no ponto médio, c_k = \tfrac{x_{k-1}+x_k}{2}.
\begin{aligned} c_1 &= -\tfrac{3\pi}{4},\quad &f(c_1)&=\sin\bigl(-\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=-\tfrac{\sqrt2}{2},\\\ c_2 &= -\tfrac{\pi}{4},\quad &f(c_2)&=\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=-\tfrac{\sqrt2}{2},\\\ c_3 &= \tfrac{\pi}{4},\quad &f(c_3)&=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt2}{2},\\\ c_4 &= \tfrac{3\pi}{4},\quad &f(c_4)&=\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt2}{2}. \end{aligned}
No esboço, marque esses pontos médios e desenhe retângulos de base \tfrac{\pi}{2} e alturas \pm\tfrac{\sqrt2}{2}, abaixo do eixo quando for negativo e acima quando for positivo.

Resposta

Os retângulos a serem desenhados em cada caso têm, em ordem dos 4 subintervalos, as alturas:
(a) extremidade esquerda:
0,\;-1,\;0,\;1.
(b) extremidade direita:
-1,\;0,\;1,\;0.
(c) ponto médio:
-\tfrac{\sqrt2}{2},\;-\tfrac{\sqrt2}{2},\;\tfrac{\sqrt2}{2},\;\tfrac{\sqrt2}{2}.
Basta então colocar essas alturas sobre cada bloco de base \Delta x=\tfrac{\pi}{2} no esboço do gráfico de \sin x.

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