esboce o gráfico de cada função f(x) no intervalo dado. Divida o intervalo em quatro subintervalos de mesmo comprimento. Depois acrescente ao seu esboço os retângulos associados com a soma de Riemann \sum_{k=1}^{4} f\left(c_{k}\right) \Delta x_{k} tomando c_{k} como (a) extremidade esquerda, (b) extremidade direita e (c) ponto médio do k-ésimo subintervalo. (Faça um esboço para cada conjunto de retângulos.)
f(x)=-x^{2},[0,1]

Passo 1

O enunciado pede para esboçar em [0,1] a função
f(x) = -x^2
e sobrepor a esse esboço três coleções de retângulos de largura \Delta x_k obtidos pela soma de Riemann
\sum_{k=1}^{4} f(c_k)\,\Delta x_k
usando em cada caso
(a) c_k como a extremidade esquerda do k-ésimo subintervalo,
(b) c_k como a extremidade direita,
(c) c_k como o ponto médio.
O conteúdo principal é somas de Riemann e esboço de gráficos.

Passo 2

Vamos primeiro particionar o intervalo [0,1] em quatro subintervalos de mesmo comprimento. Definimos
x_0 = 0,\quad x_1 = \tfrac14,\quad x_2 = \tfrac12,\quad x_3 = \tfrac34,\quad x_4 = 1
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\Delta x_k = x_k - x_{k-1} = \tfrac14\quad\text{para }k=1,2,3,4.

Passo 3

Esboçamos o gráfico de f(x)=-x^2 em [0,1]: trata-se de uma parábola invertida que em x=0 vale 0 e em x=1 vale -1. No desenho, ela decresce de (0,0) até (1,-1).

Passo 4

Para a soma de Riemann à esquerda, escolhemos
c_k = x_{k-1}.
As alturas dos retângulos são
f(x_0)=f(0)=0,\quad f(x_1)=f\bigl(\tfrac14\bigr)=-\tfrac1{16},\quad f(x_2)=f\bigl(\tfrac12\bigr)=-\tfrac14,\quad f(x_3)=f\bigl(\tfrac34\bigr)=-\tfrac9{16}.
Em cada subintervalo [x_{k-1},x_k] traçamos um retângulo de base \Delta x=\tfrac14 e altura f(x_{k-1}), todos estendendo-se para baixo a partir do eixo x.

Passo 5

Para a soma de Riemann à direita, escolhemos
c_k = x_k.
As alturas passam a ser
f(x_1)=-\tfrac1{16},\quad f(x_2)=-\tfrac14,\quad f(x_3)=-\tfrac9{16},\quad f(x_4)=f(1)=-1.
Em cada [x_{k-1},x_k] desenhamos o retângulo de base \tfrac14 e altura f(x_k).

Passo 6

Para a soma de Riemann no ponto médio, escolhemos
c_k = \tfrac{x_{k-1}+x_k}{2}.
Os pontos médios são
\tfrac{x_0+x_1}2=\tfrac18,\; \tfrac{x_1+x_2}2=\tfrac38,\; \tfrac{x_2+x_3}2=\tfrac58,\; \tfrac{x_3+x_4}2=\tfrac78,
com alturas
f\bigl(\tfrac18\bigr)=-\tfrac1{64},\quad f\bigl(\tfrac38\bigr)=-\tfrac9{64},\quad f\bigl(\tfrac58\bigr)=-\tfrac{25}{64},\quad f\bigl(\tfrac78\bigr)=-\tfrac{49}{64}.
Em cada subintervalo [x_{k-1},x_k] desenhamos o retângulo de base \tfrac14 e altura f(c_k).

Resposta

O esboço final consiste em:
(a) o gráfico de f(x)=-x^2 com 4 retângulos de altura f(x_{k-1}),
(b) o mesmo gráfico com 4 retângulos de altura f(x_k),
(c) o mesmo gráfico com 4 retângulos de altura f\bigl(\tfrac{x_{k-1}+x_k}2\bigr).

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