esboce o gráfico de cada função
no intervalo dado. Divida o intervalo em quatro subintervalos de mesmo comprimento. Depois acrescente ao seu esboço os retângulos associados com a soma de Riemann
tomando
como (a) extremidade esquerda, (b) extremidade direita e (c) ponto médio do
-ésimo subintervalo. (Faça um esboço para cada conjunto de retângulos.)
f(x)=-x^{2},[0,1]
f(x)=-x^{2},[0,1]
Passo 1
O enunciado pede para esboçar em
a função
e sobrepor a esse esboço três coleções de retângulos de largura
obtidos pela soma de Riemann
usando em cada caso
(a) como a extremidade esquerda do
-ésimo subintervalo,
(b) como a extremidade direita,
(c) como o ponto médio.
O conteúdo principal é somas de Riemann e esboço de gráficos.
(a)
(b)
(c)
O conteúdo principal é somas de Riemann e esboço de gráficos.
Passo 2
Vamos primeiro particionar o intervalo
em quatro subintervalos de mesmo comprimento. Definimos
logo
Passo 3
Esboçamos o gráfico de
em
: trata-se de uma parábola invertida que em
vale
e em
vale
. No desenho, ela decresce de
até
.
Passo 4
Para a soma de Riemann à esquerda, escolhemos
As alturas dos retângulos são
Em cada subintervalo
traçamos um retângulo de base
e altura
, todos estendendo-se para baixo a partir do eixo
.
Passo 5
Para a soma de Riemann à direita, escolhemos
As alturas passam a ser
Em cada
desenhamos o retângulo de base
e altura
.
Passo 6
Para a soma de Riemann no ponto médio, escolhemos
Os pontos médios são
com alturas
Em cada subintervalo
desenhamos o retângulo de base
e altura
.
Resposta
O esboço final consiste em:
(a) o gráfico de com 4 retângulos de altura
,
(b) o mesmo gráfico com 4 retângulos de altura ,
(c) o mesmo gráfico com 4 retângulos de altura .
(a) o gráfico de
(b) o mesmo gráfico com 4 retângulos de altura
(c) o mesmo gráfico com 4 retângulos de altura