Para as funções nos exercícios 35-40, determine uma fórmula para a soma superior, obtida dividindo-se o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais. Em seguida, considere o limite dessas somas quando n \rightarrow \infty para calcular a área sob a curva ao longo de [a, b].
f(x)=2 x ao longo do intervalo [0,3].

Passo 1

O enunciado pede a soma superior (isto é, a soma de Riemann usando os supremos em cada subintervalo) para a função f(x)=2x no intervalo [0,3] dividindo-o em n subintervalos iguais. O conteúdo envolve somas de Riemann e cálculo de limite para obter a área sob a curva.

Passo 2

Primeiro, dividimos [0,3] em n subintervalos iguais. Cada subintervalo tem comprimento
\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{3 - 0}{n} = \frac{3}{n}.

Passo 3

Como f(x)=2x é crescente em [0,3], o supremo em cada subintervalo [x_{i-1},x_i] ocorre no ponto direito x_i. Esses pontos são
x_i = a + i\,\Delta x = 0 + i\cdot\frac{3}{n} = \frac{3i}{n}, \quad i=1,2,\dots,n.

Passo 4

A soma superior U_n é dada por
U_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n} 2\bigl(x_i\bigr)\,\frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} 2\!\Bigl(\frac{3i}{n}\Bigr)\,\frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{18\,i}{n^2}.

Passo 5

Usamos a soma dos inteiros \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}. Então
U_n = \frac{18}{n^2}\,\sum_{i=1}^{n} i = \frac{18}{n^2}\,\frac{n(n+1)}{2} = 9\,\frac{n+1}{n} = 9\Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr).

Passo 6

Para obter a área sob a curva, tomamos o limite de U_n quando n \to \infty:
\lim_{n\to\infty} U_n = \lim_{n\to\infty} 9\Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr) = 9.

Resposta

A fórmula da soma superior é
U_n = 9\Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr),
e o limite quando n \to \infty, que equivale à área sob f(x)=2x em [0,3], é 9.

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