Explique por quê, o os domínios das funções reais abaixo são dados como os intervalos dados?
Sejam as funções f(x)=\sqrt{7-x} e g(x)=\sqrt{x-2}.
1.) (f+g)(x)=\sqrt{7-x}+\sqrt{x-2}. O domínio de f+g é [2,7].
2.) (f \cdot g)(x)=\sqrt{7-x} \cdot \sqrt{x-2}. O domínio de f g é [2,7].
3.) \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{\sqrt{7-x}}{\sqrt{x-2}}, \quad x \in[2,7].

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos f(x)=\sqrt{7-x} e g(x)=\sqrt{x-2},
e queremos os domínios de (f+g)(x), (f\cdot g)(x) e \bigl(f/g\bigr)(x). O conteúdo é determinação de domínio em funções definidas por radicais e quociente.

Passo 2

Para que \sqrt{7-x} exista, o radicando deve satisfazer
7 - x \ge 0\quad\Longrightarrow\quad x \le 7.
Logo
D_f = (-\infty,7].
Para que \sqrt{x-2} exista, é necessário
x - 2 \ge 0\quad\Longrightarrow\quad x \ge 2,
de modo que
D_g = [2,\infty).

Passo 3

Tanto na soma quanto no produto precisamos que os dois radicais existam simultaneamente, ou seja
D_f \,\cap\, D_g = (-\infty,7] \,\cap\, [2,\infty) = [2,7].
Portanto (f+g)(x) e (f\cdot g)(x) só estão definidos em [2,7].

Passo 4

No quociente
\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{7-x}}{\sqrt{x-2}}
além de exigir x\in D_f\cap D_g = [2,7], precisamos que o denominador seja diferente de zero: \sqrt{x-2}\neq0 ocorre sempre que x\neq2.
Logo devemos excluir x=2 de [2,7], ficando
D_{f/g} = (2,7].

Resposta

( f+g)(x): [2,7]
( f\cdot g)(x): [2,7] \bigl(f/g\bigr)(x): (2,7]

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