Para as funções nos exercícios 1. a 5., determine (se existir) o que se pede a seguir:
(a) A derivada
.
(b) Os pontos críticos de
.
© Os intervalos em que
é crescente ou decrescente.
(d) Os pontos de máximo e os pontos de mínimo locais de
.
.
(a) A derivada
(b) Os pontos críticos de
© Os intervalos em que
(d) Os pontos de máximo e os pontos de mínimo locais de
Passo 1
O enunciado pede para a função
que a gente calcule (a) a derivada, (b) os pontos críticos, © os intervalos de crescimento e decrescimento e (d) os extremos locais. O assunto envolve regra do produto, cadeia e análise de sinal da derivada.
Passo 2
Para achar a derivada, é mais prático escrever
e usar a regra do produto: .
Simplificando a expressão:
Simplificando a expressão:
Passo 3
Os pontos críticos são onde
ou
está indefinida. Vemos que
nunca zera para
, e
só é indefinida em
, mas esses pontos não pertencem ao domínio de
. Logo, não há pontos críticos reais.
Passo 4
Para determinar crescimento e decrescimento, observamos que o numerador
sempre é positivo e o sinal de
vem de
. Então:
- Se
, então e , ou seja, cresce em . - Se
, então e , logo decresce em .
Passo 5
Não existem pontos onde
no domínio, portanto não há máximos nem mínimos locais.
Resposta
(a)
.
(b) Não há pontos críticos no domínio de .
© é crescente em
e decrescente em
.
(d) Não existem máximos nem mínimos locais.
(b) Não há pontos críticos no domínio de
©
(d) Não existem máximos nem mínimos locais.