Para as funções nos exercícios 1. a 5., determine (se existir) o que se pede a seguir:
(a) A derivada f^prime(x).
(b) Os pontos críticos de f.
© Os intervalos em que f é crescente ou decrescente.
(d) Os pontos de máximo e os pontos de mínimo locais de f.
f(x)=x(4-x^2)^2.

Passo 1

O enunciado pede para a função f(x)=dfracx(4-x^2)^2 que a gente calcule (a) a derivada, (b) os pontos críticos, © os intervalos de crescimento e decrescimento e (d) os extremos locais. O assunto envolve regra do produto, cadeia e análise de sinal da derivada.

Passo 2

Para achar a derivada, é mais prático escrever f(x)=x,(4-x^2)^-2 e usar a regra do produto: .
Simplificando a expressão:
f'(x)=1cdot(4-x^2)^-2+xcdot(-2)(4-x^2)^-3)cdot(-2x)

Passo 3

Os pontos críticos são onde f'(x)=0 ou f' está indefinida. Vemos que 3x^2+4>0 nunca zera para xinR, e f' só é indefinida em x=pm2, mas esses pontos não pertencem ao domínio de f. Logo, não há pontos críticos reais.

Passo 4

Para determinar crescimento e decrescimento, observamos que o numerador 3x^2+4 sempre é positivo e o sinal de f'(x) vem de (4-x^2)^3. Então:
  • Se |x|<2, então 4-x^2>0 e f'(x)>0, ou seja, f cresce em (-2,2).
  • Se |x|>2, então 4-x^2<0 e f'(x)<0, logo f decresce em (-infty,-2)cup(2,infty).

Passo 5

Não existem pontos onde f'(x)=0 no domínio, portanto não há máximos nem mínimos locais.

Resposta

(a) f'(x)=dfrac3x^2+4(4-x^2)^3.
(b) Não há pontos críticos no domínio de f.
© f é crescente em (-2,2) e decrescente em (-infty,-2)cup(2,infty).
(d) Não existem máximos nem mínimos locais.

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