Mostre que se f: R R é derivável e se a equação f(x)=0 tem duas raízes distintas então f tem pelo menos um ponto crítico.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma função diferenciável f: ℝ→ℝ que se anula em dois pontos distintos tem algum ponto crítico (isto é, algum c com f '©=0). Vamos usar o Teorema de Rolle, que exige que f seja contínua num intervalo fechado e diferenciável no aberto, e que f(a)=f(b).

Passo 2

Sejam a e b duas raízes distintas de f, com a<b, ou seja f(a)=0 e f(b)=0. Como f é diferenciável em ℝ, ela é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b).

Passo 3

Pelo Teorema de Rolle, se uma função é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e f(a)=f(b), então existe pelo menos um c em (a,b) tal que

Passo 4

f'(c)=0
Isto garante a existência de um ponto c onde a derivada se anula, ou seja, um ponto crítico de f.

Resposta

Existe c∈(a,b) tal que f '©=0.

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