Mostre que se
é derivável e se a equação
tem duas raízes distintas então
tem pelo menos um ponto crítico.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma função diferenciável f: ℝ→ℝ que se anula em dois pontos distintos tem algum ponto crítico (isto é, algum c com f '©=0). Vamos usar o Teorema de Rolle, que exige que f seja contínua num intervalo fechado e diferenciável no aberto, e que f(a)=f(b).
Passo 2
Sejam a e b duas raízes distintas de f, com a<b, ou seja f(a)=0 e f(b)=0. Como f é diferenciável em ℝ, ela é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b).
Passo 3
Pelo Teorema de Rolle, se uma função é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e f(a)=f(b), então existe pelo menos um c em (a,b) tal que
Passo 4
Isto garante a existência de um ponto c onde a derivada se anula, ou seja, um ponto crítico de f.
Resposta
Existe c∈(a,b) tal que f '©=0.