Seja f a função definida por f(x)=|x+5|.
Explique o motivo pelo qual isso não contraria o Teorema do Valor Médio.

Passo 1

O enunciado apresenta a função f(x)=|x+5| e pergunta por que isso não viola o Teorema do Valor Médio (TVM). O conteúdo principal é o TVM, que exige que a função seja contínua em um intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b). Para resolver, vamos analisar continuidade, derivabilidade e o cálculo da média de variação.

Passo 2

Vamos reescrever f(x) de forma piecewise, pois a parte interna do valor absoluto muda de sinal em x=-5. Assim, temos:
f(x)=|x+5|= -(x+5),&x< -5, x+5,&x>=-5

Passo 3

Verificamos continuidade: cada ramo -(x+5) e x+5 é polinomial e contínuo. No ponto x=-5 os limites laterais coincidem:
limxto-5^-f(x)= -(-5+5)=0, limxto-5^+f(x)= -5+5=0,
e f(-5)=0. Logo, f é contínua em toda reta.

Passo 4

Agora analisamos derivabilidade. Para x< -5, f(x)=-(x+5) e f'(x)=-1. Para x> -5, f(x)=x+5 e f'(x)=1. Mas em x=-5 as derivadas laterais são diferentes:
f'-( -5)= -1e f'+( -5)=1,
portanto f não é diferenciável em x=-5.

Passo 5

Escolhemos um exemplo de intervalo que costuma gerar dúvida: [a,b]=[-10,0]. Calculamos:
f(-10)=| -10+5|=5, f(0)=|0+5|=5
A média de variação é
f(0)-f(-10)0-(-10)=5-510=0

Passo 6

Para aplicar o TVM esperaríamos encontrar um cin(-10,0) tal que f'(c)=0. Mas onde f é diferenciável (isto é, em (-10,-5) e (-5,0)), temos sempre f'(x)=pm1 e nunca zero. Logo, não há c com f'(c)=0.

Passo 7

Concluímos que não há contradição: o TVM não exige apenas que f(a)=f(b), mas também que f seja diferenciável em (a,b). Como f falha essa hipótese em x=-5, o Teorema do Valor Médio não se aplica, e portanto não há violação.

Resposta

O Teorema do Valor Médio não se aplica porque f(x)=|x+5| não é diferenciável em x=-5, logo uma das hipóteses do teorema falha e não há contradição.

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