Seja
a função definida por
.
Explique o motivo pelo qual isso não contraria o Teorema do Valor Médio.
Explique o motivo pelo qual isso não contraria o Teorema do Valor Médio.
Passo 1
O enunciado apresenta a função
e pergunta por que isso não viola o Teorema do Valor Médio (TVM). O conteúdo principal é o TVM, que exige que a função seja contínua em um intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
. Para resolver, vamos analisar continuidade, derivabilidade e o cálculo da média de variação.
Passo 2
Vamos reescrever
de forma piecewise, pois a parte interna do valor absoluto muda de sinal em
. Assim, temos:
Passo 3
Verificamos continuidade: cada ramo
e
é polinomial e contínuo. No ponto
os limites laterais coincidem:
e
. Logo,
é contínua em toda reta.
Passo 4
Agora analisamos derivabilidade. Para
,
e
. Para
,
e
. Mas em
as derivadas laterais são diferentes:
portanto
não é diferenciável em
.
Passo 5
Escolhemos um exemplo de intervalo que costuma gerar dúvida:
. Calculamos:
A média de variação é
Passo 6
Para aplicar o TVM esperaríamos encontrar um
tal que
. Mas onde
é diferenciável (isto é, em
e
), temos sempre
e nunca zero. Logo, não há
com
.
Passo 7
Concluímos que não há contradição: o TVM não exige apenas que
, mas também que
seja diferenciável em
. Como
falha essa hipótese em
, o Teorema do Valor Médio não se aplica, e portanto não há violação.
Resposta
O Teorema do Valor Médio não se aplica porque
não é diferenciável em
, logo uma das hipóteses do teorema falha e não há contradição.