O lado, a diagonal e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão aritmética. Determine a razão dessa sequência.

Passo 1

O enunciado diz: o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão aritmética. A pergunta é: determine a razão (diferença comum) dessa progressão.
Informações dadas e que vamos usar: o quadrado tem lado (positvo) s; a diagonal é um valor ligado ao lado; a área é outro valor ligado ao lado. Não há outras informações externas.

Passo 2

Definimos variáveis para ficar claro: o lado do quadrado será \,s, a diagonal será \,d e a área será \,A. Vou explicar como expressar \,d e \,A em função de \,s.
  • A diagonal de um quadrado com lado \,s é dada por aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado por dois lados: a diagonal é a hipotenusa. Então
d = s\sqrt{2}.
Aqui \sqrt{2} vem de \sqrt{s^2+s^2}=\sqrt{2s^2}=s\sqrt{2}.
  • A área de um quadrado de lado \,s é o lado ao quadrado, isto é
A = s^2.

Passo 3

Agora explico o que significa os três números estarem em progressão aritmética (PA): três termos x_1,x_2,x_3 estão em PA se e só se o segundo termo for a média aritmética dos extremos, isto é
x_2=\frac{x_1+x_3}{2}.
No nosso caso os termos são s, d, A. Logo a condição de PA é
d=\frac{s+A}{2}.
Isto é a equação que relaciona s (lado) com d e A.

Passo 4

Substituo as expressões de d e A em função de s na condição de PA:
s\sqrt{2}=\frac{s+s^2}{2}.
Agora vou manipular essa equação passo a passo.
Multiplico ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
2s\sqrt{2}=s+s^2.
Levo todos os termos para o mesmo lado:
s^2+s-2s\sqrt{2}=0.
Como o lado s de um quadrado é positivo, podemos dividir a equação por s sem perder soluções relevantes:
s+1-2\sqrt{2}=0.
Expliquei a divisão porque se s=0 não seria um quadrado válido; portanto s\neq0.

Passo 5

Resolvo a equação obtida para s:
s+1-2\sqrt{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad s=2\sqrt{2}-1.
Esse é o valor do lado s. Vou checar que é positivo: \,2\sqrt{2}\approx 2\cdot1{,}414=2{,}828, então s\approx1{,}828>0.

Passo 6

Agora calculo a diagonal d e a área A a partir de s.
Diagonal:
d = s\sqrt{2} = (2\sqrt{2}-1)\sqrt{2} = 4-\sqrt{2}.
(Usei (2\sqrt{2})\sqrt{2}=4 e -1\cdot\sqrt{2}=-\sqrt{2}.)
Área:
A = s^2 = (2\sqrt{2}-1)^2 = 8 - 4\sqrt{2} + 1 = 9 - 4\sqrt{2}.
(Usei a fórmula do quadrado da diferença.)

Passo 7

A razão r da progressão aritmética é a diferença comum entre termos consecutivos; posso calcular r como
r = d - s.
Substituo os valores encontrados:
r = (4-\sqrt{2}) - (2\sqrt{2}-1) = 4-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+1 = 5-3\sqrt{2}.

Passo 8

Faço uma verificação rápida: calcule A-d e confira que é igual a r.
A-d = (9-4\sqrt{2}) - (4-\sqrt{2}) = 5 - 3\sqrt{2},
que coincide com r. Logo as diferenças são iguais e a solução está consistente.

Resposta

5-3\sqrt{2}

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