O lado, a diagonal e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão aritmética. Determine a razão dessa sequência.
Passo 1
O enunciado diz: o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão, nessa ordem, em progressão aritmética. A pergunta é: determine a razão (diferença comum) dessa progressão.
Informações dadas e que vamos usar: o quadrado tem lado (positvo) ; a diagonal é um valor ligado ao lado; a área é outro valor ligado ao lado. Não há outras informações externas.
Informações dadas e que vamos usar: o quadrado tem lado (positvo)
Passo 2
Definimos variáveis para ficar claro: o lado do quadrado será
, a diagonal será
e a área será
. Vou explicar como expressar
e
em função de
.
- A diagonal de um quadrado com lado
é dada por aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado por dois lados: a diagonal é a hipotenusa. Então
Aqui
vem de
.
- A área de um quadrado de lado
é o lado ao quadrado, isto é
Passo 3
Agora explico o que significa os três números estarem em progressão aritmética (PA): três termos
estão em PA se e só se o segundo termo for a média aritmética dos extremos, isto é
No nosso caso os termos são
. Logo a condição de PA é
Isto é a equação que relaciona
(lado) com
e
.
Passo 4
Substituo as expressões de
e
em função de
na condição de PA:
Agora vou manipular essa equação passo a passo.
Multiplico ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Levo todos os termos para o mesmo lado:
Como o lado
de um quadrado é positivo, podemos dividir a equação por
sem perder soluções relevantes:
Expliquei a divisão porque se
não seria um quadrado válido; portanto
.
Passo 5
Resolvo a equação obtida para
:
Esse é o valor do lado
. Vou checar que é positivo:
, então
.
Passo 6
Agora calculo a diagonal
e a área
a partir de
.
Diagonal:
(Usei
e
.)
Área:
(Usei a fórmula do quadrado da diferença.)
Passo 7
A razão
da progressão aritmética é a diferença comum entre termos consecutivos; posso calcular
como
Substituo os valores encontrados:
Passo 8
Faço uma verificação rápida: calcule
e confira que é igual a
.
que coincide com
. Logo as diferenças são iguais e a solução está consistente.