Usando regras de derivação, determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto indicado. f(x)=x+1x-1, P(-1,0)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)= x+1x-1 no ponto P(-1,0). Vamos usar derivação de função racional (regra do quociente) para encontrar o declive da tangente e depois aplicar a forma ponto-declive.

Passo 2

Para aplicar a regra do quociente, escrevemos u(x)=x+1 e v(x)=x-1. Sabemos que u’(x)=1 e v’(x)=1. Pela regra do quociente: f’(x) = u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2.
Calculamos f’(x) de fato:
f'(x)=1cdot(x-1)-(x+1)cdot1(x-1)^2=x-1-x-1(x-1)^2=-2(x-1)^2

Passo 3

Agora, avaliamos o declive no ponto x_0=-1:
f'(-1)=-2(-1-1)^2=-24=-tfrac12

Passo 4

Usando a forma ponto-declive da reta: y - y_0 = m(x - x_0), com m=-1/2 e P(-1,0), temos y - 0 = -\tfrac12(x + 1). Simplificando: y = -\tfrac12 x - \tfrac12.

Resposta

y = -tfrac12x - tfrac12

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