Usando regras de derivação, determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto indicado. f(x)=(x^2-x) cdot e^x, P(2,2 e^2)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x) = (x^2 - x)e^x no ponto P(2,2e^2). O conteúdo principal aqui é derivação (regra do produto) para achar f'(x) e depois usar a forma ponto-inclinação de uma reta.

Passo 2

Para aplicar a regra do produto, separamos f(x) em u(x)=x^2-x e v(x)=e^x. Assim, u'(x)=2x-1 e v'(x)=e^x. Pela regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)=(2x-1)e^x+(x^2-x)e^x

Passo 3

Agora agrupamos termos em f'(x) para simplificar:
f'(x)=[(2x-1)+(x^2-x)]e^x=(x^2+x-1)e^x

Passo 4

A inclinação da reta tangente é m=f'(2). Substituindo x=2:
f'(2)=(2^2+2-1)e^2=5e^2

Passo 5

Finalmente, usamos a forma ponto-inclinação y-y0=m(x-x0) com P(2,2e^2) e m=5e^2:
y-2e^2=5e^2(x-2)

Resposta

y = 5e^2x - 8e^2

Exercícios relacionados