Para as funções f abaixo determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde f é côncava para cima e para baixo, assíntotas verticais. Note que as derivadas já estão dadas.
(b) f(x)=x^2-x+1x-1, f^prime(x)=x(x-2)(x-1)^2, f^prime prime(x)=2(x-1)^3;

Passo 1

Resumo: temos a função f(x)=x^2-x+1x-1 e já conhecemos as derivadas f'(x)=x(x-2)(x-1)^2 e f''(x)=2(x-1)^3. Vamos achar pontos críticos, extremos locais, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, intervalos de concavidade e assíntotas verticais.

Passo 2

Domínio e assíntotas: o denominador x-1 não pode ser zero, então o domínio é (-infty,1)cup(1,infty). Há assíntota vertical em x=1.

Passo 3

Pontos críticos e monotonicidade:\n- Zeros de f'(x) vêm de x(x-2)=0, isto é, x=0 e x=2.\n- O denominador (x-1)^2 é sempre positivo (exceto em x=1, fora do domínio), então o sinal de f'(x) é dado por x(x-2).\n- Para x<0, x(x-2)>0 f'>0 (cresce).\n- Para 0 (com xneq1), x(x-2)<0 f'<0 (decresce).\n- Para x>2, x(x-2)>0 f'>0 (cresce).

Passo 4

Classificação de extremos: em x=0 a derivada muda de + para –, logo há um máximo local com f(0)=1-1=-1. Em x=2 muda de – para +, logo mínimo local com f(2)=4-2+12-1=3.

Passo 5

Concavidade e inflexão:\n- f''(x)=2(x-1)^3. Para x<1, x-1<0 e o cubo é negativo, logo f''<0 (côncava para baixo).\n- Para x>1, x-1>0 e f''>0 (côncava para cima).\nNão há ponto de inflexão no domínio, pois f''(x) não se anula.

Passo 6

Intervalos finais:\n- Crescimento em (-infty,0) e (2,infty).\n- Decrescimento em (0,1) e (1,2).\n- Côncava para baixo em (-infty,1), côncava para cima em (1,infty).

Resposta

Pontos críticos: x=0 (máx local, f(0)=−1) e x=2 (mín local, f(2)=3). Intervalos de crescimento: (−∞,0) e (2,∞); de decrescimento: (0,1) e (1,2). Concavidade: côncava para baixo em (−∞,1), côncava para cima em (1,∞). Não há pontos de inflexão no domínio. Assíntota vertical: x=1.

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