Para as funções
abaixo determine: pontos críticos, máximos e mínimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, intervalos onde
é côncava para cima e para baixo, assíntotas verticais. Note que as derivadas já estão dadas.
(b)
;
(b)
Passo 1
Resumo: temos a função
e já conhecemos as derivadas
e
. Vamos achar pontos críticos, extremos locais, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, intervalos de concavidade e assíntotas verticais.
Passo 2
Domínio e assíntotas: o denominador
não pode ser zero, então o domínio é
. Há assíntota vertical em
.
Passo 3
Pontos críticos e monotonicidade:\n- Zeros de
vêm de
, isto é,
e
.\n- O denominador
é sempre positivo (exceto em
, fora do domínio), então o sinal de
é dado por
.\n- Para
,
→
(cresce).\n- Para
(com
),
→
(decresce).\n- Para
,
→
(cresce).
Passo 4
Classificação de extremos: em
a derivada muda de + para –, logo há um máximo local com
. Em
muda de – para +, logo mínimo local com
.
Passo 5
Concavidade e inflexão:\n-
. Para
,
e o cubo é negativo, logo
(côncava para baixo).\n- Para
,
e
(côncava para cima).\nNão há ponto de inflexão no domínio, pois
não se anula.
Passo 6
Intervalos finais:\n- Crescimento em
e
.\n- Decrescimento em
e
.\n- Côncava para baixo em
, côncava para cima em
.
Resposta
Pontos críticos: x=0 (máx local, f(0)=−1) e x=2 (mín local, f(2)=3). Intervalos de crescimento: (−∞,0) e (2,∞); de decrescimento: (0,1) e (1,2). Concavidade: côncava para baixo em (−∞,1), côncava para cima em (1,∞). Não há pontos de inflexão no domínio. Assíntota vertical: x=1.