A lei da receita pela venda de três produtos é dada por
, sendo
e
as quantidades vendidas. Sabendo-se que a receita é restrita a
, pedem-se as quantidades vendidas para que a receita seja máxima.
Passo 1
O enunciado pede para maximizar a receita dada por R(x,y,z)=–10x²–20y²+60z² sujeita à restrição linear 2x+y–z=26. O conteúdo aqui é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Vamos montar a função de Lagrange:
ou seja
Passo 3
Calculamos as condições de otimalidade igualando as derivadas parciais a zero:
Passo 4
Da primeira equação temos
. Substituindo na segunda:
E na terceira:
Passo 5
Agora usamos a restrição 2x+y-z=26 com x=4y e z=x/12=4y/12=y/3:
Logo x=4y=12 e z=y/3=1.
Passo 6
Encontramos então as quantidades que maximizam R respeitando a restrição.
Resposta
As quantidades que maximizam a receita são x = 12, y = 3 e z = 1.