A lei da receita pela venda de três produtos é dada por R(x, y, z)=-10 x^2-20 y^2+60 z^2, sendo x, y e z as quantidades vendidas. Sabendo-se que a receita é restrita a 2 x+y-z=26, pedem-se as quantidades vendidas para que a receita seja máxima.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a receita dada por R(x,y,z)=–10x²–20y²+60z² sujeita à restrição linear 2x+y–z=26. O conteúdo aqui é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Vamos montar a função de Lagrange:
L(x,y,z,lambda)=R(x,y,z)-lambda(2x+y-z-26)
ou seja
L(x,y,z,lambda)=-10x^2-20y^2+60z^2-lambda(2x+y-z-26)

Passo 3

Calculamos as condições de otimalidade igualando as derivadas parciais a zero:
partialLpartial x=-20x-2lambda=0Rightarrow -20x=2lambda
partialLpartial y=-40y-lambda=0Rightarrow -40y=lambda
partialLpartial z=120z+lambda=0Rightarrow 120z=-lambda

Passo 4

Da primeira equação temos lambda=-10x. Substituindo na segunda:
-40y=-10xRightarrow x=4y
E na terceira:
120z=10xRightarrow x=12z

Passo 5

Agora usamos a restrição 2x+y-z=26 com x=4y e z=x/12=4y/12=y/3:
2(4y)+y - y3=26Rightarrow 8y+y-y3=26Rightarrow 26y3=26Rightarrow y=3
Logo x=4y=12 e z=y/3=1.

Passo 6

Encontramos então as quantidades que maximizam R respeitando a restrição.

Resposta

As quantidades que maximizam a receita são x = 12, y = 3 e z = 1.

Exercícios relacionados