Para as funções
e
definidas abaixo determine o domínio das funções
e
.
b)
e
.
b)
Passo 1
O enunciado pede o domínio das funções compostas f ∘ g e g ∘ f, onde temos f(x) =
e g(x) =
. Vamos usar a definição de domínio e a condição de existência da raiz.
Passo 2
Primeiro encontramos os domínios de f e g separadamente. A função f(x) =
exige a expressão dentro da raiz não negativa, ou seja,
, logo o domínio de f é
. A função g(x) =
é polinomial, cujo domínio é todo o conjunto dos reais, isto é,
.
Passo 3
Para achar o domínio de f ∘ g, precisamos de x tais que g(x) esteja no domínio de f. Assim impomos
:
que equivale a
Calculamos as raízes do polinômio
: o discriminante é
, e as raízes são
ou seja,
e
. Como o coeficiente de
é positivo, a parábola abre para cima, e a condição
vale para x nos intervalos fora das raízes. Logo
Passo 4
Para encontrar o domínio de g ∘ f, precisamos que f(x) esteja no domínio de g. Como g aceita todos os reais, basta garantir que f(x) exista, isto é, x deve satisfazer
. Portanto
Resposta
Dom(f \circ g) = (-\infty, 1/2] \cup [2, \infty) e Dom(g \circ f) = [1, \infty)