Para as funções f e g definidas abaixo determine o domínio das funções f circ g e g circ f.
b) f(x)=raizx-1 e g(x)=2 x^2-5 x+3.

Passo 1

O enunciado pede o domínio das funções compostas f ∘ g e g ∘ f, onde temos f(x) = raizx-1 e g(x) = 2x^2 - 5x + 3. Vamos usar a definição de domínio e a condição de existência da raiz.

Passo 2

Primeiro encontramos os domínios de f e g separadamente. A função f(x) = raizx-1 exige a expressão dentro da raiz não negativa, ou seja, x-1 >= 0, logo o domínio de f é [1,infty). A função g(x) = 2x^2 - 5x + 3 é polinomial, cujo domínio é todo o conjunto dos reais, isto é, ( - infty, infty ).

Passo 3

Para achar o domínio de f ∘ g, precisamos de x tais que g(x) esteja no domínio de f. Assim impomos g(x) >= 1:
2x^2 - 5x + 3 >= 1
que equivale a
2x^2 - 5x + 2 >= 0
Calculamos as raízes do polinômio 2x^2 - 5x + 2: o discriminante é De, e as raízes são
x = 5 pm 34,
ou seja, x = tfrac12 e x = 2. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima, e a condição 2x^2 - 5x + 2 >= 0 vale para x nos intervalos fora das raízes. Logo
Dom(f circ g) = (-infty, tfrac12] cup [2, infty)

Passo 4

Para encontrar o domínio de g ∘ f, precisamos que f(x) esteja no domínio de g. Como g aceita todos os reais, basta garantir que f(x) exista, isto é, x deve satisfazer x-1 >= 0. Portanto
Dom(g circ f) = [1, infty)

Resposta

Dom(f \circ g) = (-\infty, 1/2] \cup [2, \infty) e Dom(g \circ f) = [1, \infty)

Exercícios relacionados