seja f(x, y)=y cdot cos (x y), calcule partial fpartial x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a derivada parcial de em relação a . Isso envolve entender um pouco de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de várias variáveis e queremos ver como a função muda quando apenas uma dessas variáveis muda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de uma função em relação a uma variável mede como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes. No nosso caso, queremos ver como muda quando muda, mantendo constante.

Passo 3

Agora, vamos calcular . A função dada é . Para derivar isso em relação a , usamos a regra do produto, já que temos um produto de duas funções de : (que é constante em relação a ) e .
A regra do produto diz que . Aqui, e .

Passo 4

Vamos aplicar a regra do produto:
partial fpartial x = y cdot ddx[cos(xy)] + cos(xy) cdot ddx[y]
Sabemos que partial fpartial x = y cdot ddx[cos(xy)] , já que ddx[cos(xy)] = -sin(xy) cdot ddx[xy] é constante em relação a ddx[cos(xy)] = -sin(xy) cdot y . Então, ficamos com:
Agora, para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia:
E , pois é constante.
Então:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original:
partial fpartial x = y cdot (-sin(xy) cdot y) = -y^2 cdot sin(xy)

Resposta

partial fpartial x = -y^2 cdot sin(xy)

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