Para as funções
e
definidas abaixo, encontre (i)
, (ii)
, (iii)
, (iv)
e (v)
e defina seus domínios.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções aí:
- $ f(x) = \frac{x}{x^{2} - 9} $
- $ g(x) = \sqrt{x - 3} $
O que a gente precisa fazer é encontrar:
- $ f + g $
- $ \frac{f}{g} $
- $ \frac{g}{f} $
- $ f \circ g $ (função composta)
- $ g \circ f $ (função composta)
Além disso, temos que definir os domínios de cada uma dessas funções resultantes. Pra isso, vamos precisar entender conceitos de operações com funções e determinar onde essas funções são válidas (domínio).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar $ f + g $. Isso significa somar as duas funções:
Para somar essas funções, precisamos garantir que ambas estejam definidas. Portanto, devemos encontrar o domínio comum onde ambas as funções existem.
Passo 3
Vamos determinar o domínio de $ f(x) $:
O denominador não pode ser zero, então:
Então, o domínio de $ f $ é todos os reais menos $ x = 3 $ e $ x = -3 $.
Passo 4
Agora, o domínio de $ g(x) $:
Dentro da raiz quadrada, a expressão precisa ser maior ou igual a zero:
Então, o domínio de $ g $ é $ x \geq 3 $.
Passo 5
Para somar $ f + g $, precisamos que ambas as funções estejam definidas. Ou seja, precisamos que $ x \geq 3 $ e $ x \neq 3, -3 $.
Como $ x \geq 3 $ já exclui $ x = -3 $, mas ainda excluímos $ x = 3 $ porque no denominador de $ f $ o valor é zero. Portanto, o domínio de $ f + g $ é $ x > 3 $.
Passo 6
Agora, vamos para $ \frac{f}{g} $:
O denominador não pode ser zero e todas as expressões dentro das raízes devem estar definidas.
Então, além de $ x > 3 $ (domínio de $ g $), precisamos que $ x^{2} - 9 \neq 0 $, ou seja, $ x \neq 3 $ e $ x \neq -3 $. Mas como já temos $ x > 3 $, apenas $ x \neq 3 $ se aplica, que já está coberto.
Portanto, o domínio de $ \frac{f}{g} $ é $ x > 3 $.
Passo 7
Vamos para $ \frac{g}{f} $:
Aqui, além de $ x > 3 $, precisamos que $ x \neq 0 $ (para evitar divisão por zero no denominador original $ f $).
Então, o domínio será $ x > 3 $ e $ x \neq 0 $. Como $ x > 3 $ já exclui $ x = 0 $, o domínio de $ \frac{g}{f} $ é $ x > 3 $.
Passo 8
Agora, $ f \circ g $, que significa $ f(g(x)) $:
Para que $ f \circ g $ esteja definida:
- $ g(x) $ deve estar definida: $ x \geq 3 $.
- O denominador de $ f(g(x)) $ não pode ser zero: $ x - 12 \neq 0 \Rightarrow x \neq 12 $.
Então, o domínio de $ f \circ g $ é $ 3 \leq x < 12 $ ou $ x > 12 $.
Passo 9
Por fim, $ g \circ f $, que é $ g(f(x)) $:
Para que $ g \circ f $ esteja definida:
- $ f(x) $ deve estar definida: $ x \neq 3 $ e $ x \neq -3 $.
- A expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
Isso requer uma análise mais aprofundada para resolver a desigualdade, mas essencialmente determina valores de $ x $ onde a expressão é válida.
Resposta
As funções resultantes e seus domínios são:
- $ f + g = \frac{x}{x^{2} - 9} + \sqrt{x - 3} $ com domínio $ x > 3 $.
- $ \frac{f}{g} = \frac{x}{(x^{2} - 9)\sqrt{x - 3}} $ com domínio $ x > 3 $.
- $ \frac{g}{f} = \frac{\sqrt{x - 3} (x^{2} - 9)}{x} $ com domínio $ x > 3 $.
- $ f \circ g = \frac{\sqrt{x - 3}}{x - 12} $ com domínio $ x \geq 3 $ e $ x \neq 12 $.
- $ g \circ f = \sqrt{\frac{x}{x^{2} - 9} - 3} $ com domínio determinado pela solução da desigualdade $ \frac{x}{x^{2} - 9} - 3 \geq 0 $.