Nas funções f e g definidas por f(x)=x^{2}+2 e g(x)=x-3, obter:
a) f \circ g

Passo 1

O enunciado dá as duas funções abaixo e pede f\circ g:
f(x)=x^{2}+2
g(x)=x-3
A tarefa é encontrar a função composta (f\circ g)(x), ou seja, f(g(x)).

Passo 2

Definição e ideia chave (sem mistério): a composição (f\circ g)(x) significa pegar o valor g(x) e usá-lo como entrada da função f. Em notação:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Isso é só substituir g(x) no lugar do argumento x dentro de f. Calma: vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Substituímos g(x) em f. A função f é f(x)=x^{2}+2. Então, trocando x por g(x) temos:
f\bigl(g(x)\bigr)=\bigl(g(x)\bigr)^{2}+2.
Agora usamos que g(x)=x-3. Logo,
f\bigl(g(x)\bigr)=(x-3)^{2}+2.

Passo 4

Agora vamos desenvolver (x-3)^{2}. Lembra da fórmula do quadrado da diferença?
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2},
aqui com a=x e b=3. Aplicando:
(x-3)^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot 3+3^{2}=x^{2}-6x+9.

Passo 5

Voltando para f(g(x)) e somando o +2 que estava fora do quadrado:
f\bigl(g(x)\bigr)=(x-3)^{2}+2=\bigl(x^{2}-6x+9\bigr)+2.
Agora somamos os termos constantes 9+2:
f\bigl(g(x)\bigr)=x^{2}-6x+11.

Passo 6

Verificação rápida (um jeito prático de checar na prova): escolha um valor qualquer, por exemplo x=4. Então g(4)=4-3=1 e f(g(4))=f(1)=1^{2}+2=3. Usando a fórmula final:
x^{2}-6x+11 \text{ com } x=4 \Rightarrow 16-24+11=3,
bingo — confere. Também vale notar que ambas as funções estão definidas para todo x\in\mathbb{R}, então o domínio da composição é \mathbb{R}.

Resposta

(f\circ g)(x)=x^{2}-6x+11

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