Dadas as funções f e g definidas por f(x)=x^{2}+4 x-5 e g(x)=2 x-3, calcule:
a) f \circ g e g \circ f;
b) f \circ g(2) e g \circ f(2);
c) Determinar os valores do domínio da função f \circ g que produzem imagem 16 .

Passo 1

O enunciado dá as duas funções e pede três coisas. Informações e perguntas que temos:
  • Funções fornecidas: f(x)=x^{2}+4x-5 e g(x)=2x-3.
  • Pergunta (a): calcular f\circ g e g\circ f.
  • Pergunta (b): calcular (f\circ g)(2) e (g\circ f)(2).
  • Pergunta (c): determinar os valores do domínio (os x) tais que (f\circ g)(x)=16.
  • Observação útil dada pelas funções (não é preciso provar): ambas são polinômios, portanto seus domínios são todos os números reais.

Passo 2

O que significa composição de funções e como a vamos calcular (aula rápida): \n
  • A composição (f\circ g) é a função que aplica primeiro g e depois f. Por definição,
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big).
Isso quer dizer que você deve pegar a expressão de g(x) e substituir no lugar do argumento x em f. \n
  • Analogamente,
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big),
ou seja, substitui-se f(x) no lugar do argumento de g. \n
Nosso trabalho prático será fazer essas substituições e simplificar as expressões resultantes.

Passo 3

Calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)) passo a passo: \n
  • Escrevo g(x)=2x-3 e uso como entrada de f. Se eu chamar o argumento de f de t, então f(t)=t^{2}+4t-5. Substituindo t=g(x)=2x-3, tenho
(f\circ g)(x) = (2x-3)^{2}+4(2x-3)-5.
  • Agora desenvolvo os termos com calma. Primeiro o quadrado:
(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9.
  • Depois o termo linear com coeficiente 4:
4(2x-3)=8x-12.
  • Somando tudo:
(f\circ g)(x)=\big(4x^{2}-12x+9\big)+(8x-12)-5.
  • Agrupando termos semelhantes: para x^{2} temos 4x^{2}; para x temos -12x+8x=-4x; para constantes temos 9-12-5=-8. Logo
(f\circ g)(x)=4x^{2}-4x-8.
  • Como curiosidade útil para a prova, fatoro em seguida (pode ajudar em equações):
4x^{2}-4x-8 = 4\big(x^{2}-x-2\big)=4(x-2)(x+1).

Passo 4

Calcular (g\circ f)(x)=g(f(x)) passo a passo: \n
  • Aqui f(x)=x^{2}+4x-5 entra como argumento de g. A definição de g é g(t)=2t-3. Substituindo t=f(x),
(g\circ f)(x)=2\big(x^{2}+4x-5\big)-3.
  • Faço a distribuição do 2:
(g\circ f)(x)=2x^{2}+8x-10-3.
  • Somando as constantes:
(g\circ f)(x)=2x^{2}+8x-13.

Passo 5

Calcular os valores numéricos pedidos em (b): \n
  • Primeiro (f\circ g)(2)=f(g(2)). Calculo g(2):
g(2)=2\cdot 2-3=4-3=1.
Agora calculo f(1):
f(1)=1^{2}+4\cdot 1-5=1+4-5=0.
Portanto
(f\circ g)(2)=0.
  • Agora (g\circ f)(2)=g(f(2)). Calculo f(2):
f(2)=2^{2}+4\cdot 2-5=4+8-5=7.
Agora g(7):
g(7)=2\cdot 7-3=14-3=11.
Portanto
(g\circ f)(2)=11.

Passo 6

Resolver a equação (f\circ g)(x)=16 pedida em (c): \n
  • Já temos (f\circ g)(x)=4x^{2}-4x-8 do Passo 3. Igualamos a 16:
4x^{2}-4x-8=16.
  • Trago tudo para um lado para formar uma equação quadrática padrão:
4x^{2}-4x-8-16=0 \quad\Rightarrow\quad 4x^{2}-4x-24=0.
  • Divido ambos os lados por 4 para simplificar (divisão válida pois 4\neq 0):
x^{2}-x-6=0.
  • Agora resolvo a equação quadrática. Posso tentar fatorar: procuro dois números que multiplicam -6 e somam -1. Esses números são -3 e 2, então
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
  • Logo as raízes são x=3 e x=-2. Verificação rápida (sempre boa prática): usando a forma fatorada de (f\circ g)(x)=4(x-2)(x+1) do Passo 3, noto que ao substituir x=3 e x=-2 realmente o valor obtido para (f\circ g)(x) é 16 (passei pela verificação algébrica ao resolver a quadrática).
  • Conclusão: os valores do domínio que produzem imagem 16 são x=3 e x=-2.

Resposta

a) (f\circ g)(x)=4x^{2}-4x-8,\; (g\circ f)(x)=2x^{2}+8x-13\n
b) (f\circ g)(2)=0,\; (g\circ f)(2)=11\n
c) x\in\{-2,\,3\}

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