Dadas as funções
e
definidas por
e
, calcule:
a)
e
;
b)
e
;
c) Determinar os valores do domínio da função
que produzem imagem 16 .
a)
b)
c) Determinar os valores do domínio da função
Passo 1
O enunciado dá as duas funções e pede três coisas. Informações e perguntas que temos:
- Funções fornecidas:
e . - Pergunta (a): calcular
e . - Pergunta (b): calcular
e . - Pergunta (c): determinar os valores do domínio (os
) tais que . - Observação útil dada pelas funções (não é preciso provar): ambas são polinômios, portanto seus domínios são todos os números reais.
Passo 2
O que significa composição de funções e como a vamos calcular (aula rápida): \n
- A composição
é a função que aplica primeiro e depois . Por definição,
Isso quer dizer que você deve pegar a expressão de
e substituir no lugar do argumento
em
. \n
- Analogamente,
ou seja, substitui-se
no lugar do argumento de
. \n
Nosso trabalho prático será fazer essas substituições e simplificar as expressões resultantes.
Nosso trabalho prático será fazer essas substituições e simplificar as expressões resultantes.
Passo 3
Calcular
passo a passo: \n
- Escrevo
e uso como entrada de . Se eu chamar o argumento de de , então . Substituindo , tenho
- Agora desenvolvo os termos com calma. Primeiro o quadrado:
- Depois o termo linear com coeficiente 4:
- Somando tudo:
- Agrupando termos semelhantes: para
temos ; para temos ; para constantes temos . Logo
- Como curiosidade útil para a prova, fatoro em seguida (pode ajudar em equações):
Passo 4
Calcular
passo a passo: \n
- Aqui
entra como argumento de . A definição de é . Substituindo ,
- Faço a distribuição do 2:
- Somando as constantes:
Passo 5
Calcular os valores numéricos pedidos em (b): \n
- Primeiro
. Calculo :
Agora calculo
:
Portanto
- Agora
. Calculo :
Agora
:
Portanto
Passo 6
Resolver a equação
pedida em (c): \n
- Já temos
do Passo 3. Igualamos a 16:
- Trago tudo para um lado para formar uma equação quadrática padrão:
- Divido ambos os lados por
para simplificar (divisão válida pois ):
- Agora resolvo a equação quadrática. Posso tentar fatorar: procuro dois números que multiplicam
e somam . Esses números são e , então
- Logo as raízes são
e . Verificação rápida (sempre boa prática): usando a forma fatorada de do Passo 3, noto que ao substituir e realmente o valor obtido para é (passei pela verificação algébrica ao resolver a quadrática). - Conclusão: os valores do domínio que produzem imagem
são e .
Resposta
a)
\n
b) \n
c)
b)
c)