(2,0 pts) Considere a equação de Schrődinger para uma partícula livre se movendo em uma dimensão:
Verifique, por substituição direta, que as funções reais
Passo 1
O enunciado dá a equação de Schrödinger unidimensional para partícula livre:
e as duas funções reais
Dados e símbolos (explicando cada um):
A tarefa é verificar, por substituição direta, se
e
satisfazem a equação de Schrödinger (isto é, substituir cada função na equação e checar se a igualdade fica satisfeita para todos
).
Passo 2
Derivada temporal de
. Usamos a regra da cadeia: se
, então
. Como
, obtemos
Multiplicando por
(lado esquerdo da equação):
Passo 3
Derivada espacial segunda de
. Primeiro
. Diferenciando de novo:
Multiplicando pelo fator do lado direito da equação:
Passo 4
Comparando os dois lados da equação para
: a equação exige
Isto dá a identidade (para todos
)
(omiti
porque, se
, a função é trivial e satisfaz qualquer equação; estamos interessados em
). Note que no lado esquerdo aparece
e um fator
, e no direito aparece
(sem
). Funções
e
são linearmente independentes: se para todos
tivermos
, então escolhendo
e
obtemos
e
. Portanto, a igualdade acima só pode ser verdadeira para todos
se ambos os lados forem nulos simultaneamente, o que com
exigiria
e
ao mesmo tempo, i.e.
e
, ou seja a solução trivial constante. Conclusão: para
genérico,
não satisfaz a equação de Schrödinger.
Passo 5
Fazendo o mesmo para
.
Derivada temporal:
portanto
Derivada espacial segunda:
e
Comparando os lados:
Novamente temos
de um lado e
do outro, não é possível que essa igualdade valha para todos
com
(exceto no caso trivial
). Portanto
também não satisfaz a equação para
.
Passo 6
Comentário didático final e solução correta clássica: as funções
e
são, respectivamente, a parte real e a parte imaginária (morada e imag) da função complexa
Substituindo
na equação de Schrödinger obtemos (cálculo direto):
Igualando os dois lados obtemos a relação (chamada de relação de dispersão)
Com essa escolha de
,
satisfaz a equação. Mas, atenção: mesmo que essa exponencial complexa seja solução, suas partes real e imaginária isoladas (isto é,
e
) em geral não são soluções da equação de Schrödinger porque a equação envolve o fator
e gera acoplamento entre parte real e imaginária (como mostrado nos passos anteriores).