(2,0 pts) Considere a equação de Schrődinger para uma partícula livre se movendo em uma dimensão:
i \hbar \frac{\partial \Psi(x, t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \Psi(x, t)}{\partial x^{2}}
Verifique, por substituição direta, que as funções reais
\Psi_{1}(x, t)=A \cos (k x-\omega t) \text { e } \Psi_{2}(x, t)=A \sin (k x-\omega t)

Passo 1

O enunciado dá a equação de Schrödinger unidimensional para partícula livre:
i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi(x,t)}{\partial x^{2}}
e as duas funções reais
\Psi_{1}(x,t)=A\cos(kx-\omega t),\qquad \Psi_{2}(x,t)=A\sin(kx-\omega t).
Dados e símbolos (explicando cada um):
A é a amplitude (constante real), k é o número de onda (real), \omega é a frequência angular (real), \hbar é a constante reduzida de Planck, e m é a massa da partícula.
A tarefa é verificar, por substituição direta, se \Psi_{1} e \Psi_{2} satisfazem a equação de Schrödinger (isto é, substituir cada função na equação e checar se a igualdade fica satisfeita para todos x,t).

Passo 2

Derivada temporal de \Psi_{1}. Usamos a regra da cadeia: se u(x,t)=kx-\omega t, então \frac{\partial}{\partial t}\cos u = -\sin u\cdot\frac{\partial u}{\partial t}. Como \frac{\partial u}{\partial t}=-\omega, obtemos
\frac{\partial \Psi_{1}}{\partial t} = A\frac{\partial}{\partial t}\cos(kx-\omega t) = A\big(-\sin(kx-\omega t)\big)(- \omega) = A\omega\sin(kx-\omega t).
Multiplicando por i\hbar (lado esquerdo da equação):
i\hbar\frac{\partial \Psi_{1}}{\partial t} = i\hbar A\omega\sin(kx-\omega t).

Passo 3

Derivada espacial segunda de \Psi_{1}. Primeiro \frac{\partial}{\partial x}\cos(kx-\omega t) = -\sin(kx-\omega t)\cdot k. Diferenciando de novo:
\frac{\partial^{2}\Psi_{1}}{\partial x^{2}} = A\frac{\partial}{\partial x}\big(-k\sin(kx-\omega t)\big) = A(-k)\cos(kx-\omega t)\cdot k = -A k^{2}\cos(kx-\omega t).
Multiplicando pelo fator do lado direito da equação:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi_{1}}{\partial x^{2}} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\big(-A k^{2}\cos(kx-\omega t)\big) = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}A\cos(kx-\omega t).

Passo 4

Comparando os dois lados da equação para \Psi_{1}: a equação exige
i\hbar A\omega\sin(kx-\omega t) \stackrel{?}{=} \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}A\cos(kx-\omega t).
Isto dá a identidade (para todos x,t)
i\hbar\omega \sin(kx-\omega t) = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\cos(kx-\omega t)
(omiti A porque, se A=0, a função é trivial e satisfaz qualquer equação; estamos interessados em A\neq 0). Note que no lado esquerdo aparece \sin e um fator i, e no direito aparece \cos (sem i). Funções \sin e \cos são linearmente independentes: se para todos u tivermos \alpha\sin u + \beta\cos u = 0, então escolhendo u=0 e u=\pi/2 obtemos \beta=0 e \alpha=0. Portanto, a igualdade acima só pode ser verdadeira para todos x,t se ambos os lados forem nulos simultaneamente, o que com A\neq 0 exigiria \omega=0 e \hbar^{2}k^{2}/(2m)=0 ao mesmo tempo, i.e. k=0 e \omega=0, ou seja a solução trivial constante. Conclusão: para A\neq 0 genérico, \Psi_{1} não satisfaz a equação de Schrödinger.

Passo 5

Fazendo o mesmo para \Psi_{2}(x,t)=A\sin(kx-\omega t).
Derivada temporal:
\frac{\partial \Psi_{2}}{\partial t} = A\frac{\partial}{\partial t}\sin(kx-\omega t) = A\cos(kx-\omega t)\cdot(-\omega) = -A\omega\cos(kx-\omega t),
portanto
i\hbar\frac{\partial \Psi_{2}}{\partial t} = -i\hbar A\omega\cos(kx-\omega t).
Derivada espacial segunda:
\frac{\partial^{2}\Psi_{2}}{\partial x^{2}} = -A k^{2}\sin(kx-\omega t),
e
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi_{2}}{\partial x^{2}} = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}A\sin(kx-\omega t).
Comparando os lados:
-i\hbar A\omega\cos(kx-\omega t) \stackrel{?}{=} \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}A\sin(kx-\omega t).
Novamente temos \cos de um lado e \sin do outro, não é possível que essa igualdade valha para todos x,t com A\neq 0 (exceto no caso trivial k=\omega=0). Portanto \Psi_{2} também não satisfaz a equação para A\neq 0.

Passo 6

Comentário didático final e solução correta clássica: as funções \Psi_{1} e \Psi_{2} são, respectivamente, a parte real e a parte imaginária (morada e imag) da função complexa
\Psi(x,t)=A e^{i(kx-\omega t)} = A\big(\cos(kx-\omega t) + i\sin(kx-\omega t)\big).
Substituindo \Psi(x,t)=A e^{i(kx-\omega t)} na equação de Schrödinger obtemos (cálculo direto):
\frac{\partial \Psi}{\partial t} = -i\omega A e^{i(kx-\omega t)}\quad\Rightarrow\quad i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t} = \hbar\omega A e^{i(kx-\omega t)},
\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}} = -k^{2}A e^{i(kx-\omega t)}\quad\Rightarrow\quad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}} = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}A e^{i(kx-\omega t)}.
Igualando os dois lados obtemos a relação (chamada de relação de dispersão)
\hbar\omega = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}\quad\Rightarrow\quad \omega = \frac{\hbar k^{2}}{2m}.
Com essa escolha de \omega, \Psi(x,t)=A e^{i(kx-\omega t)} satisfaz a equação. Mas, atenção: mesmo que essa exponencial complexa seja solução, suas partes real e imaginária isoladas (isto é, \Psi_{1} e \Psi_{2}) em geral não são soluções da equação de Schrödinger porque a equação envolve o fator i e gera acoplamento entre parte real e imaginária (como mostrado nos passos anteriores).

Resposta

\Psi_{1} e \Psi_{2} não satisfazem a equação de Schrödinger para A\neq 0 (exceto no caso trivial A=0 ou k=\omega=0).\nA função complexa \Psi(x,t)=A e^{i(kx-\omega t)} é solução se e somente se \omega=\dfrac{\hbar k^{2}}{2m}.

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