(3,0 pts) O comprimento de onda de De Broglie é dado por
, onde
.
a) Calcule
para: (i) um elétron de
; (ii) uma bola de tênis de
movendo-se a
.
b) Compare os valores e explique por que não observamos o comportamento ondulatório em objetos macroscópicos.
a) Calcule
b) Compare os valores e explique por que não observamos o comportamento ondulatório em objetos macroscópicos.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Parte (a): calcular o comprimento de onda de De Broglie
usando para:
(i) um elétron com velocidade;
(ii) uma bola de tênis com massae velocidade . - Parte (b): comparar os valores obtidos e explicar por que não observamos comportamento ondulatório em objetos macroscópicos.
Informações dadas e constantes que vamos usar (valores conhecidos):
Dados específicos do enunciado:
Passo 2
Apresentando a fórmula e o que cada símbolo significa (mini-aula):
A relação de De Broglie é
A relação de De Broglie é
onde:
-
é o comprimento de onda associado à partícula (unidade: ); -
é a constante de Planck ( ); -
é o momento linear da partícula (unidade: ).
Para velocidades não relativísticas (ou seja, muito menores que a velocidade da luz), o momento linear é dado por
onde
é a massa e
a velocidade. Vamos usar isso aqui porque
dos dois casos é bem menor que a velocidade da luz.
Passo 3
Cálculo para o elétron (parte (a)(i)):
Primeiro calculamos o momento do elétron:
Primeiro calculamos o momento do elétron:
Fazendo a multiplicação:
Agora aplicamos
:
Note que
, e ao dividir por
sobra
, como deve ser. Efetuando a divisão:
Interpretação rápida: isso é da ordem de
, ou seja, cerca de
um sub-nanômetro
, comparável ao espaçamento entre átomos em um cristal — por isso elétrons mostram difração.
Passo 4
Cálculo para a bola de tênis (parte (a)(ii)):
Primeiro o momento da bola:
Primeiro o momento da bola:
Fazendo a multiplicação:
Agora a relação de De Broglie:
Efetuando a divisão:
Passo 5
Comparação numérica e ordem de grandeza (parte (b)):
Vamos comparar os dois comprimentos de onda por razão:
Vamos comparar os dois comprimentos de onda por razão:
Ou seja, o comprimento de onda do elétron é aproximadamente
vezes maior que o da bola de tênis — uma diferença astronômica.
Passo 6
Explicação física, didática e intuitiva (por que não vemos ondas em objetos macroscópicos):
- Para observar fenômenos ondulatórios (difração, interferência) precisamos de componentes do sistema (fendas, grades, obstáculos) com tamanhos comparáveis ao comprimento de onda. Se a fenda for muito maior que
, o padrão ondulatório some. - No caso do elétron,
, que é da ordem das distâncias interatômicas; por isso conseguimos observar difração de elétrons em cristais. - Para a bola de tênis,
, que é extremamente pequeno — muito menor que o tamanho de um núcleo atômico (~ ) e impossível de ser resolvido por qualquer dispositivo experimental real. Não há fendas nem interações que possam “ver” essa ondulação. - Além disso, objetos macroscópicos sofrem forte interação com o ambiente (colisões com moléculas do ar, emissão/absorção térmica, etc.), o que causa decoerência quântica: a fase quântica se perde rapidamente e o comportamento quântico torna-se indistinguível do clássico.
- Conclusão física curta: a combinação de comprimento de onda absurdamente pequeno e decoerência torna os efeitos ondulatórios impossíveis de observar em objetos macroscópicos.
Passo 7
Resumo final rápido e incentivo:
Você já tem os cálculos passo a passo e a intuição física: quando é comparável às dimensões do sistema, vemos ondas; quando
é absurdamente pequeno, não vemos. Vai com calma na prova — siga os passos: calcular o momento
, depois
, e sempre cheque ordens de grandeza. Você consegue!
Você já tem os cálculos passo a passo e a intuição física: quando
Resposta
(a)(i)
(a)(ii)
(b) Não observamos comportamento ondulatório em objetos macroscópicos porque seus comprimentos de onda são absurdamente pequenos (aqui ~ ), muito menores que qualquer fenda/estrutura experimental e muito menores que escalas atômicas; além disso, interações com o ambiente causam decoerência, apagando efeitos quânticos.
(a)(ii)
(b) Não observamos comportamento ondulatório em objetos macroscópicos porque seus comprimentos de onda são absurdamente pequenos (aqui ~