(3,0 pts) O comprimento de onda de De Broglie é dado por \lambda=h / p, onde h= 6,626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~s}.
a) Calcule \lambda para: (i) um elétron de v=1,0 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}; (ii) uma bola de tênis de m=0,058 \mathrm{~kg} movendo-se a v=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
b) Compare os valores e explique por que não observamos o comportamento ondulatório em objetos macroscópicos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Parte (a): calcular o comprimento de onda de De Broglie \lambda usando \lambda = h/p para:
    (i) um elétron com velocidade v=1,0\times10^{6}\\ \mathrm{m/s};
    (ii) uma bola de tênis com massa m=0,058\\ \mathrm{kg} e velocidade v=10\\ \mathrm{m/s}.
  2. Parte (b): comparar os valores obtidos e explicar por que não observamos comportamento ondulatório em objetos macroscópicos.
Informações dadas e constantes que vamos usar (valores conhecidos):
h = 6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}
\text{massa do elétron } m_e = 9,109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}é
Dados específicos do enunciado:
\text{elétron: } v=1,0\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}é
\text{bola de tênis: } m=0,058\\ \mathrm{kg},\quad v=10\\ \mathrm{m/s}ê

Passo 2

Apresentando a fórmula e o que cada símbolo significa (mini-aula):
A relação de De Broglie é
\lambda = \frac{h}{p},
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda associado à partícula (unidade: \mathrm{m});
  • h é a constante de Planck ( \mathrm{J\cdot s});
  • p é o momento linear da partícula (unidade: \mathrm{kg\cdot m/s}).
Para velocidades não relativísticas (ou seja, muito menores que a velocidade da luz), o momento linear é dado por
p = m v,
onde m é a massa e v a velocidade. Vamos usar isso aqui porque v dos dois casos é bem menor que a velocidade da luz.

Passo 3

Cálculo para o elétron (parte (a)(i)):
Primeiro calculamos o momento do elétron:
p_e = m_e v = \left(9,109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}\right)\left(1,0\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}\right).
Fazendo a multiplicação:
p_e = 9,109\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Agora aplicamos \lambda = h/p:
\lambda_e = \frac{6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}}{9,109\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}}.
Note que \mathrm{J\cdot s} = \mathrm{kg\cdot m^2/s}\cdot\mathrm{s} = \mathrm{kg\cdot m^2/s}, e ao dividir por \mathrm{kg\cdot m/s} sobra \mathrm{m}, como deve ser. Efetuando a divisão:
\lambda_e \approx 7,28\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: isso é da ordem de 10^{-10}\\ \mathrm{m}, ou seja, cerca de um sub-nanômetro , comparável ao espaçamento entre átomos em um cristal — por isso elétrons mostram difração.

Passo 4

Cálculo para a bola de tênis (parte (a)(ii)):
Primeiro o momento da bola:
p_{\text{bola}} = m_{\text{bola}} v = \left(0,058\\ \mathrm{kg}\right)\left(10\\ \mathrm{m/s}\right).
Fazendo a multiplicação:
p_{\text{bola}} = 0,58\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Agora a relação de De Broglie:
\lambda_{\text{bola}} = \frac{6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}}{0,58\\ \mathrm{kg\cdot m/s}}.
Efetuando a divisão:
\lambda_{\text{bola}} \approx 1,14\times10^{-33}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Comparação numérica e ordem de grandeza (parte (b)):
Vamos comparar os dois comprimentos de onda por razão:
\frac{\lambda_e}{\lambda_{\text{bola}}} \approx \frac{7,28\times10^{-10}}{1,14\times10^{-33}} \approx 6,4\times10^{23}.
Ou seja, o comprimento de onda do elétron é aproximadamente 10^{23} vezes maior que o da bola de tênis — uma diferença astronômica.

Passo 6

Explicação física, didática e intuitiva (por que não vemos ondas em objetos macroscópicos):
  • Para observar fenômenos ondulatórios (difração, interferência) precisamos de componentes do sistema (fendas, grades, obstáculos) com tamanhos comparáveis ao comprimento de onda. Se a fenda for muito maior que \lambda, o padrão ondulatório some.
  • No caso do elétron, \lambda_e\sim10^{-10}\\ \mathrm{m}, que é da ordem das distâncias interatômicas; por isso conseguimos observar difração de elétrons em cristais.
  • Para a bola de tênis, \lambda_{\text{bola}}\sim10^{-33}\\ \mathrm{m}, que é extremamente pequeno — muito menor que o tamanho de um núcleo atômico (~ 10^{-15}\\ \mathrm{m}) e impossível de ser resolvido por qualquer dispositivo experimental real. Não há fendas nem interações que possam “ver” essa ondulação.
  • Além disso, objetos macroscópicos sofrem forte interação com o ambiente (colisões com moléculas do ar, emissão/absorção térmica, etc.), o que causa decoerência quântica: a fase quântica se perde rapidamente e o comportamento quântico torna-se indistinguível do clássico.
  • Conclusão física curta: a combinação de comprimento de onda absurdamente pequeno e decoerência torna os efeitos ondulatórios impossíveis de observar em objetos macroscópicos.

Passo 7

Resumo final rápido e incentivo:
Você já tem os cálculos passo a passo e a intuição física: quando \lambda é comparável às dimensões do sistema, vemos ondas; quando \lambda é absurdamente pequeno, não vemos. Vai com calma na prova — siga os passos: calcular o momento p=mv, depois \lambda=h/p, e sempre cheque ordens de grandeza. Você consegue!

Resposta

(a)(i) \lambda_e \approx 7,28\times10^{-10}\\ \mathrm{m}
(a)(ii) \lambda_{\text{bola}} \approx 1,14\times10^{-33}\\ \mathrm{m}
(b) Não observamos comportamento ondulatório em objetos macroscópicos porque seus comprimentos de onda são absurdamente pequenos (aqui ~ 10^{-33}\\ \mathrm{m}), muito menores que qualquer fenda/estrutura experimental e muito menores que escalas atômicas; além disso, interações com o ambiente causam decoerência, apagando efeitos quânticos.

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