As funções f: R R definida por f(x)=raizx^2 e g: R R definida por g(x)=x são iguais? Explique.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções f e g, ambas definidas em ℝ, são iguais. Aqui o conteúdo envolve definição de igualdade de funções (mesmo domínio, mesmo valor para cada x) e a propriedade da raiz quadrada de um quadrado, que leva ao valor absoluto.

Passo 2

Lembrando que a raiz quadrada principal sempre retorna um número não negativo, temos para todo x em ℝ:
raizx^2=|x| Portanto f(x)=|x|.

Passo 3

Escrevendo f de forma equivalente em função de x, obtemos a definição por partes:
f(x)= x, & x>=0, -x, & x<0 Já g(x)=x para todo x.

Passo 4

Agora comparamos f(x) e g(x):
  • Se x≥0, então f(x)=x=g(x).
  • Se x<0, então f(x)=-x≠x=g(x).

Passo 5

Como existe pelo menos um x (todos os x negativos) para o qual f(x)≠g(x), concluímos que não são a mesma função.

Resposta

Não. Porque f(x)=\sqrt{x^2}=|x|, que difere de g(x)=x quando x<0.

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