Para as funções hiperbólicas inversas:
d) Comprove que Dx(x cosh ^-1 x-raizx^2-1)=cosh ^-1 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para comprovar que a derivada da função $ f(x) = x \cosh^{-1} x - \sqrt{x^{2}-1} $ é igual a $ \cosh^{-1} x $. Estamos trabalhando com derivadas de funções hiperbólicas inversas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a parte $ x \cosh^{-1} x $. Aqui temos um produto de duas funções: $ x $ e $ \cosh^{-1} x $. Para derivar produtos, usamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Então, seja:
  • $ u = x $ e $ v = \cosh^{-1} x $
  • A derivada de $ u $, $ u’ = 1 $
  • A derivada de $ v $, $ v’ = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} $ (essa é a derivada da função hiperbólica inversa $ \cosh^{-1} x $)
Aplicando a regra:
x cosh^-1 x

Passo 3

Agora, vamos derivar a parte $ \sqrt{x^{2} - 1} $. Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que é necessária quando temos uma função composta.
Escrevendo $ \sqrt{x^{2} - 1} $ como $ (x^{2} - 1)^{1/2} $:
A derivada é:
raizx^2 - 1

Passo 4

Agora, juntando tudo. A derivada de $ f(x) $ é a derivada de $ x \cosh^{-1} x $ menos a derivada de $ \sqrt{x^{2} - 1} $:
f(x)

Resposta

Portanto, $ D_{x}\left(x \cosh ^{-1} x-\sqrt{x^{2}-1}\right) = \cosh ^{-1} x $.

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