Faça o que se pede.
e) Seja
. Calcule
.
e) Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que
. Nosso objetivo é encontrar a derivada
. Para isso, vamos usar conceitos de derivação implícita e as derivadas de funções trigonométricas inversas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que
é a função arco-tangente de
, e sua derivada é
. Vamos aplicar a derivação nos dois lados da equação original em relação a
.
Passo 3
Derivando o lado esquerdo:
Sabemos que
. Para
, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Derivando o lado direito da equação, que é uma constante
:
Passo 5
Agora, igualamos as duas derivadas:
Passo 6
Isolamos
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Lembrando que
, sabemos que
tende ao infinito. Usando a identidade da soma das tan inversas, temos:
Portanto,
.
Passo 8
Substituímos
na expressão da derivada:
Resposta
A derivada
é
.