Faça o que se pede.
e) Seja tan ^-1 x+tan ^-1 y=pi2. Calcule d yd x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que tan^-1 x + tan^-1 y = pi2. Nosso objetivo é encontrar a derivada dydx. Para isso, vamos usar conceitos de derivação implícita e as derivadas de funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que tan^-1 x é a função arco-tangente de x, e sua derivada é ddx tan^-1 x = 11 + x^2. Vamos aplicar a derivação nos dois lados da equação original em relação a x.

Passo 3

Derivando o lado esquerdo:
ddx ( tan^-1 x + tan^-1 y ) = ddx tan^-1 x + ddx tan^-1 y
Sabemos que ddx tan^-1 x = 11 + x^2. Para ddx tan^-1 y, usamos a regra da cadeia:
ddx tan^-1 y = 11 + y^2 cdot dydx

Passo 4

Derivando o lado direito da equação, que é uma constante pi2:
ddx ( pi2 ) = 0

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivadas:
11 + x^2 + 11 + y^2 cdot dydx = 0

Passo 6

Isolamos dydx:
11 + y^2 cdot dydx = -11 + x^2
Multiplicando ambos os lados por 1 + y^2:
dydx = -1 + y^21 + x^2

Passo 7

Lembrando que tan^-1 x + tan^-1 y = pi2, sabemos que tan( pi2 ) tende ao infinito. Usando a identidade da soma das tan inversas, temos:
tan( tan^-1 x + tan^-1 y ) = x + y1 - xy = tan( pi2 ) 1 - xy = 0 Rightarrow xy = 1
Portanto, y = 1x.

Passo 8

Substituímos y = 1x na expressão da derivada:
dydx = -1 + ( 1x )^21 + x^2 = -1 + 1x^21 + x^2 = -x^2 + 1x^21 + x^2 = -x^2 + 1x^2 (1 + x^2) = -1x^2

Resposta

A derivada dydx é -1x^2.

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