Funções impares Se uma função ímpar
possui um valor máximo local quando
, o que se pode dizer quando
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
- A função
é ímpar, isto é, vale para todo . - A função
possui um máximo local em .
A pergunta é: o que ocorre em? (ou seja, qual é o tipo de extremo em e qual a relação entre e ?)
Passo 2
Vou lembrar definições importantes (bem devagarinho):
- Definição de função ímpar:
é ímpar quando, para todo , vale
Isto relaciona valores de
em pontos opostos em relação à origem.
- Definição de máximo local em
: existe tal que, para todo com ,
Isto significa que, numa pequena vizinhança centrada em
, o valor em
não é menor do que os valores próximos.
- Definição de mínimo local em
: existe tal que, para todo com (ou seja ),
Ou seja, em torno de
o valor em
não é maior que os valores próximos.
Passo 3
Partimos da hipótese do máximo em
: existe
tal que, para todo
com
,
Agora fazemos a troca
. Note que
, então
satisfaz
exatamente quando
satisfaz
. Portanto a vizinhança de
em torno de
corresponde à vizinhança de
em torno de
.
Passo 4
Use a imparidade para transformar a desigualdade. Para
com
aplicamos imparidade:
Da desigualdade
segue, multiplicando por
, que
. Portanto, para
com
obtemos
Mas
pela imparidade aplicada em
. Logo, para todo
com
temos
Isto é exatamente a condição de que
seja um mínimo local.
Também tiramos diretamente a relação entre valores:
Passo 5
Comentário sobre o caso especial
: se o máximo local ocorre em
então
(porque
é ímpar) e a mesma argumentação força
em uma vizinhança de
(pois a condição
próxima a
junto com imparidade implica
também). Assim, nesse caso a função é identicamente zero numa vizinhança de
(e
é simultaneamente máximo e mínimo local nessa vizinhança).
Exemplo concreto e intuição: para
(ímpar), há máximo local em
com valor
; por simetria (reflexão pelo ponto origem) há mínimo local em
com valor
. A explicação formal acima é essa simetria traduzida em desigualdades.