Funções impares Se uma função ímpar f(x) possui um valor máximo local quando x=c, o que se pode dizer quando x=-c ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão:
  • A função f é ímpar, isto é, vale f(-x)=-f(x) para todo x.
  • A função f possui um máximo local em x=c.
    A pergunta é: o que ocorre em x=-c? (ou seja, qual é o tipo de extremo em x=-c e qual a relação entre f(-c) e f\text{(c)}?)

Passo 2

Vou lembrar definições importantes (bem devagarinho):
  • Definição de função ímpar: f é ímpar quando, para todo x, vale
f(-x) = -f(x).
Isto relaciona valores de f em pontos opostos em relação à origem.
  • Definição de máximo local em x=c: existe \delta>0 tal que, para todo x com |x-c|<\delta,
f(x) \le f\text{(c)}.
Isto significa que, numa pequena vizinhança centrada em c, o valor em c não é menor do que os valores próximos.
  • Definição de mínimo local em x=-c: existe \varepsilon>0 tal que, para todo s com |s-(-c)|<\varepsilon (ou seja |s+c|<\varepsilon),
f(s) \ge f(-c).
Ou seja, em torno de -c o valor em -c não é maior que os valores próximos.

Passo 3

Partimos da hipótese do máximo em c: existe \delta>0 tal que, para todo t com |t-c|<\delta,
f(t) \le f\text{(c)}.
Agora fazemos a troca s=-t. Note que |s+ c| = |-t + c| = |t-c|, então t satisfaz |t-c|<\delta exatamente quando s satisfaz |s+ c|<\delta. Portanto a vizinhança de t em torno de c corresponde à vizinhança de s em torno de -c.

Passo 4

Use a imparidade para transformar a desigualdade. Para t com |t-c|<\delta aplicamos imparidade:
f(s)=f(-t) = -f(t).
Da desigualdade f(t)\le f\text{(c)} segue, multiplicando por -1, que -f(t)\ge -f\text{(c)}. Portanto, para s=-t com |s+ c|<\delta obtemos
f(s) = -f(t) \ge -f\text{(c)}.
Mas -f\text{(c)}=f(-c) pela imparidade aplicada em c. Logo, para todo s com |s+ c|<\delta temos
f(s) \ge f(-c).
Isto é exatamente a condição de que f(-c) seja um mínimo local.
Também tiramos diretamente a relação entre valores:
f(-c) = -f\text{(c)}.

Passo 5

Comentário sobre o caso especial c=0: se o máximo local ocorre em c=0 então f(0)=0 (porque f é ímpar) e a mesma argumentação força f(x)=0 em uma vizinhança de 0 (pois a condição f(x)\le 0 próxima a 0 junto com imparidade implica f(x)\ge 0 também). Assim, nesse caso a função é identicamente zero numa vizinhança de 0 (e 0 é simultaneamente máximo e mínimo local nessa vizinhança).
Exemplo concreto e intuição: para f(x)=\sin x (ímpar), há máximo local em x=\pi/2 com valor 1; por simetria (reflexão pelo ponto origem) há mínimo local em x=-\pi/2 com valor -1. A explicação formal acima é essa simetria traduzida em desigualdades.

Resposta

f(-c) é um mínimo local e f(-c)=-f\text{(c)}. Se c=0, então f é identicamente zero numa vizinhança de 0.

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