Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de f(x) ou de f(x) extendida na forma indicada.
d) Encontre a série de Fourier em cosenos de f(x) = L - x, 0 <= x <= L com período 2 L.

Passo 1

Então, temos que encontrar a série de Fourier em termos de cossenos para a função no intervalo , estendida com período . Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, especialmente a série de Fourier em cossenos, que é útil para funções pares ou estendidas de forma par.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier em cossenos para uma função definida no intervalo e estendida parmente para com período é dada por:
Aqui, precisamos encontrar os coeficientes e .

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente . A fórmula para é:
Substituindo :

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula é:
Substituindo :

Passo 6

Vamos separar a integral:
Calculamos cada parte separadamente.

Passo 7

Primeira integral:
Porque para todo inteiro .

Passo 8

Segunda integral:
Vamos usar integração por partes, onde:
Então,

Passo 9

Calculando os termos:
Primeiro termo:
Segundo termo:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão de :
Sabendo que :

Passo 11

Portanto, a série de Fourier em cossenos para é:

Resposta

A série de Fourier em cossenos de no intervalo com período é:

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