Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de f(x). OBSERVAÇÃO: na questão 4 as funções são ampliadas para o tamanho do período como uma função par, ímpar ou como zero no em -L \leq x<0.
Encontre a série de Fourier em senos de f(x)=2-x^{2}, 0<x<2 com período 4 .

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier em senos de
f(x)=2 - x^{2},\quad 0<x<2
com período 4. Como é “série em senos”, vamos estender f como função ímpar em [-2,2] e periódico de período 4. O conteúdo é a fórmula da série de Fourier de seno em (0,L), com L=2.

Passo 2

Para uma função ímpar em [-L,L] e período 2L, a expansão só em senos é
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\,\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr),
com
b_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx.
Aqui L=2, logo
b_{n} =\int_{0}^{2}\bigl(2 - x^{2}\bigr)\,\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Separe o integral em
b_{n} =\underbrace{\int_{0}^{2}2\sin(a x)\,dx}_{I_{1}} \;-\;\underbrace{\int_{0}^{2}x^{2}\sin(a x)\,dx}_{I_{2}},
onde a=\tfrac{n\pi}{2}.
Para I_{1}:
I_{1} =2\int_{0}^{2}\sin(a x)\,dx =-\frac{2}{a}\bigl[\cos(a x)\bigr]_{0}^{2} =\frac{2}{a}\bigl(1-\cos(2a)\bigr).
Para I_{2} aplicamos partes duas vezes (omitindo detalhes completos) e achamos
I_{2} =-\frac{4\cos(2a)}{a}+\frac{4\sin(2a)}{a^{2}} +\frac{2\bigl(\cos(2a)-1\bigr)}{a^{3}}.

Passo 4

Então
b_{n} =I_{1}-I_{2} =\frac{2\bigl(1-\cos(2a)\bigr)}{a} +\frac{4\cos(2a)}{a} -\frac{4\sin(2a)}{a^{2}} -\frac{2\bigl(\cos(2a)-1\bigr)}{a^{3}}.
Como \cos(2a)=\cos(n\pi)=(-1)^{n} e \sin(2a)=0, isso simplifica para
b_{n} =\frac{2\bigl(1+(-1)^{n}\bigr)}{a} +\frac{2\bigl(1-(-1)^{n}\bigr)}{a^{3}}.

Passo 5

Distinguindo n par e ímpar:
  • Se n é par, (-1)^{n}=1, então
b_{n} =\frac{2\cdot2}{a} =\frac{4}{a} =\frac{4}{\tfrac{n\pi}{2}} =\frac{8}{n\pi}.
  • Se n é ímpar, (-1)^{n}=-1, então
b_{n} =\frac{2\cdot2}{a^{3}} =\frac{4}{a^{3}} =\frac{4}{\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)^{3}} =\frac{32}{n^{3}\pi^{3}}.

Resposta

A série de Fourier em senos é
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\,\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr),
com
b_{n}=\begin{cases} \dfrac{8}{n\pi},&n\text{ par},\\[6pt] \dfrac{32}{n^{3}\pi^{3}},&n\text{ ímpar}. \end{cases}í]

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