Encontre a série de Fourier da função abaixo, estendendo ela para o período adequado, de modo que seja uma função ímpar. Lembre que, para funções ímpar, a_{0}=0 e a_{n}=0, para todo n.
  • Função f(x)=2-x^{2}, 0<x<2 \pi, com periodo 4 \pi.
    a) Represente a função estendida como uma função ímpar.
    b) Calcule os coeficientes da série de Fourier.
    a) O período do sinal: 2 L=\quad \rightarrow L=
    d) Apresente a série de Fourier do sinal.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
\;f(x)=2 - x^2,\quad 0<x<2\pi,
e pede a extensão ímpar dessa função com período 4\pi, bem como a série de Fourier resultante. Vamos usar o fato de que, para extensão ímpar, só há termos senoidais a_0=0, a_n=0 e os coeficientes são dados por integrais de 0 a L.

Passo 2

Como queremos período 4\pi, temos
2L = 4\pi \;\Longrightarrow\; L = 2\pi.
A extensão ímpar significa definir
f(-x) = -f(x) \quad\text{e estender isso periodicamente de passo }4\pi.

Passo 3

Para função ímpar com período 2L só aparecem termos senoidais, e
b_n = \frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx,
enquanto
a_0=0, \quad a_n=0 \quad(n\ge1).

Passo 4

Substituindo L=2\pi e f(x)=2-x^2, fica
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}(2 - x^2)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\,x}{2}\bigr)\,dx.
Separamos em
I_1 = \int_{0}^{2\pi}2\sin\!\bigl(\tfrac{n x}{2}\bigr)\,dx, \quad I_2 = \int_{0}^{2\pi}x^2\sin\!\bigl(\tfrac{n x}{2}\bigr)\,dx,
de modo que b_n=\tfrac{1}{\pi}(I_1 - I_2).

Passo 5

Calculamos
I_1 = 2\Bigl[-\tfrac{2}{n}\cos\!\bigl(\tfrac{n x}{2}\bigr)\Bigr]_{0}^{2\pi} = -\frac{4}{n}\bigl[(-1)^n - 1\bigr],
e, por partes,
I_2 = -\frac{8\pi^2}{n}(-1)^n +\frac{16}{n^3}\bigl[(-1)^n - 1\bigr].

Passo 6

Logo
b_n = \frac{1}{\pi}\Bigl\{ -\frac{4}{n}\bigl((-1)^n -1\bigr) -\Bigl[-\frac{8\pi^2}{n}(-1)^n+\frac{16}{n^3}((-1)^n -1)\Bigr] \Bigr\}
\phantom{b_n} = \frac{1}{\pi}\Bigl[ -\frac{4}{n}\bigl((-1)^n -1\bigr) +\frac{8\pi^2}{n}(-1)^n -\frac{16}{n^3}\bigl((-1)^n -1\bigr) \Bigr].

Passo 7

Fatorando fica uma forma mais compacta:
b_n = \frac{(-1)^n\,(8\pi^2-4)+4}{\pi\,n} \;-\; \frac{16\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3}.
Portanto a série de Fourier ímpar (somente senos) é
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}b_n\, \sin\!\Bigl(\tfrac{n\,x}{2}\Bigr),
com b_n dado acima e a_0=a_n=0.

Resposta

(a) Extensão ímpar de período 4\pi\): \[f(x)= \begin{cases} 2 - x^2, &0<x<2\pi,\\\\ -(2 - (-x)^2)=-2 + x^2,&-2\pi<x<0, \end{cases}
e (f(x+4\pi)=f(x)].
(b) Os coeficientes não nulos são
b_n = \frac{(-1)^n\,(8\pi^2-4)+4}{\pi\,n} \;-\; \frac{16\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3},
e a_0=a_n=0 para todo n.
(d) Série de Fourier:
\boxed{ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[ \frac{(-1)^n\,(8\pi^2-4)+4}{\pi\,n} -\frac{16\bigl((-1)^n-1\bigr)}{\pi\,n^3} \Biggr] \sin\!\Bigl(\tfrac{n\,x}{2}\Bigr) }.

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