Encontre a série de Fourier da função abaixo, estendendo ela para o período adequado, de modo que seja uma função ímpar. Lembre que, para funções ímpar,
e
, para todo
.
- Função
, com periodo
.
a) Represente a função estendida como uma função ímpar.
b) Calcule os coeficientes da série de Fourier.
a) O período do sinal:
d) Apresente a série de Fourier do sinal.
a) Represente a função estendida como uma função ímpar.
b) Calcule os coeficientes da série de Fourier.
a) O período do sinal:
d) Apresente a série de Fourier do sinal.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede a extensão ímpar dessa função com período
, bem como a série de Fourier resultante. Vamos usar o fato de que, para extensão ímpar, só há termos senoidais
,
e os coeficientes são dados por integrais de
a
.
Passo 2
Como queremos período
, temos
A extensão ímpar significa definir
Passo 3
Para função ímpar com período
só aparecem termos senoidais, e
enquanto
Passo 4
Substituindo
e
, fica
Separamos em
de modo que
.
Passo 5
Calculamos
e, por partes,
Passo 6
Logo
Passo 7
Fatorando fica uma forma mais compacta:
Portanto a série de Fourier ímpar (somente senos) é
com
dado acima e
.
Resposta
(a) Extensão ímpar de período
e (f(x+4\pi)=f(x)].
(b) Os coeficientes não nulos são
e
para todo
.
(d) Série de Fourier: