Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.
x^{3} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+y=12 x^{2} ; y=c_{1} x+c_{2} x \ln x+4 x^{2}, x>0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y = c_{1}x + c_{2}\,x\ln x + 4x^{2},\quad x>0
é solução da equação diferencial de Euler não homogênea
x^{3}\,\frac{d^{3}y}{dx^{3}} +2x^{2}\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} +x\,\frac{dy}{dx} +y =12x^{2}.
Para isso, vamos precisar calcular as derivadas até a terceira ordem e substituir na equação.

Passo 2

Calculemos as derivadas de y:
y = c_{1}x + c_{2}\,x\ln x + 4x^{2}.
Primeira derivada:
\frac{dy}{dx} = c_{1} + c_{2}\,\frac{d}{dx}(x\ln x) + \frac{d}{dx}(4x^{2}) = c_{1} + c_{2}(\ln x +1) +8x.
Segunda derivada:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = c_{2}\,\frac{d}{dx}(\ln x +1) +8 = \frac{c_{2}}{x}+8.
Terceira derivada:
\frac{d^{3}y}{dx^{3}} = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{c_{2}}{x}+8\Bigr) = -\,\frac{c_{2}}{x^{2}}.

Passo 3

Substituímos essas derivadas em cada termo da equação:
x^{3}\,\frac{d^{3}y}{dx^{3}} = x^{3}\Bigl(-\frac{c_{2}}{x^{2}}\Bigr) = -c_{2}\,x,
2x^{2}\,\frac{d^{2}y}{dx^{2}} =2x^{2}\Bigl(\frac{c_{2}}{x}+8\Bigr) =2c_{2}\,x+16x^{2},
x\,\frac{dy}{dx} = x\Bigl(c_{1}+c_{2}(\ln x+1)+8x\Bigr) = c_{1}x+c_{2}x\ln x+c_{2}x+8x^{2},
e ainda
y= c_{1}x+c_{2}x\ln x+4x^{2}.

Passo 4

Somando todos os termos do lado esquerdo:
x^{3}y'''+2x^{2}y''+x y'+y = \bigl(-c_{2}x\bigr) + \bigl(2c_{2}x+16x^{2}\bigr) + \bigl(c_{1}x+c_{2}x\ln x+c_{2}x+8x^{2}\bigr) + \bigl(c_{1}x+c_{2}x\ln x+4x^{2}\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
=2c_{1}x +2c_{2}\,x\ln x +2c_{2}x + (16+8+4)\,x^{2} =2c_{1}x+2c_{2}x\ln x+2c_{2}x+28x^{2}.

Passo 5

Para ser solução, esse resultado deve coincidir com o lado direito 12x^{2} para todo x>0. Ou seja, deveríamos ter
2c_{1}x+2c_{2}x\ln x+2c_{2}x+28x^{2}=12x^{2}.
Isso implicaria o sistema
2c_{1}=0,\quad 2c_{2}=0,\quad 28=12,
que é impossível (o último requer 28=12, absurdo).

Resposta

A função dada não satisfaz a equação diferencial.

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