As funções
& f: R longrightarrow R e g: R-1 longrightarrow R & x longmapsto x+1 e x longmapsto x^2-1x-1
são iguais? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções:
fcolon RtoR, f(x)=x+1,
gcolon Rsetminus1toR, g(x)=x^2-1x-1
O conteúdo aqui é definição de igualdade entre funções: duas funções são iguais se têm o mesmo domínio, o mesmo contradomínio e associam a cada elemento do domínio o mesmo valor.

Passo 2

Para simplificar a expressão de g, note que para xneq1 temos fatoração de diferença de quadrados:
x^2-1=(x-1)(x+1)
Logo, para todo xinRsetminus1,
g(x)=x^2-1x-1 =(x-1)(x+1)x-1 =x+1

Passo 3

Concluímos que em cada ponto de Rsetminus1 a regra de g coincide com a de f, ou seja,
g(x)=x+1=f(x) para todo xneq1

Passo 4

Porém os domínios são diferentes:
Dom(f)=R, Dom(g)=Rsetminus1
Como funções coincidem somente se domínio, contradomínio e lei de associação forem iguais, e aqui os domínios não coincidem, f e g não são a mesma função.

Resposta

As funções não são iguais, pois embora tenham a mesma expressão para xneq1, seus domínios são diferentes.

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