Calcule as derivadas:
(c) y=(1+1x)^x

Passo 1

Estamos com a função
y = l(1 + 1xr)^x
e o objetivo é achar y' = dydx. Como a incógnita aparece tanto na base quanto no expoente, vamos usar diferenciação logarítmica: tomar logaritmo dos dois lados para simplificar.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = lnl[l(1 + tfrac1xr)^xr]
Pela propriedade de potências, isso vira
ln y = x ,lnl(1 + tfrac1xr)

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x. Do lado esquerdo:
ddx(ln y) = y'y
Do lado direito usamos regra do produto em x ln(1+1/x):
ddxl[x,ln(1+tfrac1x)r] = 1cdot lnl(1 + tfrac1xr) + x cdot ddxl[lnl(1 + tfrac1xr)r]

Passo 4

Calculamos a derivada interna:
ddxl[lnl(1 + tfrac1xr)r] = ddx(1 + tfrac1x)1 + tfrac1x = -tfrac1x^21 + tfrac1x = -1x^2cdotxx+1 = -1x(x+1)
Multiplicando por x no produto, obtemos
xcdotl(-tfrac1x(x+1)r) = -1x+1
Logo a derivada do lado direito é
lnl(1 + tfrac1xr);-;1x+1

Passo 5

Igualando as duas derivadas:
y'y = lnl(1 + tfrac1xr);-;1x+1
Multiplicamos por y para isolar y':
y' = y;l[lnl(1 + tfrac1xr);-;tfrac1x+1r]

Resposta

y' = l(1 + tfrac1xr)^x gl[lnl(1 + tfrac1xr) - 1x+1gr]

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