Sejam f: X \rightarrow \mathbb{R}, a \in X^{\prime}. Se existe \lim _{x \rightarrow a} f(x) então f é limitada numa vizinhança de a, isto é, existem \delta>0 e c>0 tais que x \in X, 0<|x-a|<\delta \Rightarrow|f(x)| \leq c.
Demonstração: Seja L=\lim _{x \rightarrow a} f(x). Tomando \varepsilon=1 na definição de limite, resulta que existe \delta>0 tal que x \in X, 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<1 \Rightarrow|f(x)|=|f(x)-L+L| \leq|f(x)-L|+|L|<|L|+1. Basta então tomar c=|L|+1. \square

Passo 1

O que o problema pede e o que já temos (dados do enunciado):
  • Temos f: X \to \mathbb{R} e a\in X' (ou seja, a é ponto de acumulação de X).
  • Sabemos que existe o limite finito \lim_{x\to a} f(x). Vou chamar esse limite de L, isto é, L=\lim_{x\to a} f(x).
  • O que devemos provar: existem \delta>0 e c>0 tais que, para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta, vale |f(x)|\le c. Em palavras: f é limitada numa vizinhança pontuada de a.

Passo 2

Recordando a definição de limite (muito importante):
  • A afirmação \lim_{x\to a} f(x)=L significa: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que x\in X e 0<|x-a|<\delta, tem-se |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Observação sobre vizinhança pontuada: "vizinhança pontuada de a" significa os pontos x com 0<|x-a|<\delta (exclui x=a caso a\in X).
  • Definição de função limitada numa região: dizer que f é limitada numa região S significa que existe c>0 tal que |f(x)|\le c para todo x\in S.

Passo 3

Escolha estratégica do \varepsilon e existência do \delta:
  • Como a definição do limite vale para todo \varepsilon>0, escolho um valor conveniente, por exemplo \varepsilon=1. Isso é uma técnica padrão: escolher um \varepsilon fixo simples para extrair uma vizinhança onde f fica perto de L.
  • Pela definição do limite, com \varepsilon=1 existe \delta>0 tal que, sempre que x\in X e 0<|x-a|<\delta, temos |f(x)-L|<1.

Passo 4

Usar desigualdade triangular para obter uma cota para |f(x)|:
  • A desigualdade triangular básica diz que, para quaisquer números reais u e v, |u+v| \le |u| + |v|.Vou aplicá-la com u=f(x)-L e v=L. Assim |f(x)| = |(f(x)-L)+L| \le |f(x)-L| + |L|.
  • Como já sabemos que, para 0<|x-a|<\delta, vale |f(x)-L|<1, substituindo obtemos |f(x)| < 1 + |L|.

Passo 5

Concluir a existência de c e finalizar a prova:
  • A desigualdade |f(x)| < 1 + |L| para todos os x\in X com 0<|x-a|<\delta mostra que f é limitada nessa vizinhança pontuada.
  • Portanto basta tomar c = |L| + 1,que é um número positivo, e o \delta>0 obtido ao escolher \varepsilon=1. Com esses valores temos: se x\in X e 0<|x-a|<\delta então |f(x)|\le c.
  • Isso prova exatamente a afirmação pedida. \square

Resposta

Existem \delta>0 e c=|L|+1 tais que, para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta, vale |f(x)|\le c.

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