Sejam
. Se existe
então
é limitada numa vizinhança de
, isto é, existem
e
tais que
.
Demonstração: Seja
. Tomando
na definição de limite, resulta que existe
tal que
. Basta então tomar
.
Demonstração: Seja
Passo 1
O que o problema pede e o que já temos (dados do enunciado):
- Temos
e (ou seja, é ponto de acumulação de ). - Sabemos que existe o limite finito
. Vou chamar esse limite de , isto é, . - O que devemos provar: existem
e tais que, para todo com , vale . Em palavras: é limitada numa vizinhança pontuada de .
Passo 2
Recordando a definição de limite (muito importante):
- A afirmação
significa: para todo existe tal que, sempre que e , tem-se . - Observação sobre vizinhança pontuada: "vizinhança pontuada de
" significa os pontos com (exclui caso ). - Definição de função limitada numa região: dizer que
é limitada numa região significa que existe tal que para todo .
Passo 3
Escolha estratégica do
e existência do
:
- Como a definição do limite vale para todo
, escolho um valor conveniente, por exemplo . Isso é uma técnica padrão: escolher um fixo simples para extrair uma vizinhança onde fica perto de . - Pela definição do limite, com
existe tal que, sempre que e , temos
Passo 4
Usar desigualdade triangular para obter uma cota para
:
- A desigualdade triangular básica diz que, para quaisquer números reais
e , Vou aplicá-la com e . Assim - Como já sabemos que, para
, vale , substituindo obtemos
Passo 5
Concluir a existência de
e finalizar a prova:
- A desigualdade
para todos os com mostra que é limitada nessa vizinhança pontuada. - Portanto basta tomar
que é um número positivo, e o obtido ao escolher . Com esses valores temos: se e então . - Isso prova exatamente a afirmação pedida.
Resposta
Existem
e
tais que, para todo
com
, vale
.