As funções de onda para o átomo de hidrogênio são dadas por
psin l m(r, theta, phi)=Rn l(r) Yl m(theta, phi)
onde Yl m(theta, phi) são os harmônicos esféricos e Rn l(r) são as funções de onda radiais.
a) Calcule o valor médio lang<= rrang<= para o átomo de hidrogênio no estado psi210(r, theta, phi).
b) Calcule o valor de r para o qual a densidade de probabilidade radial do átomo de hidrogênio no estado psi210(r, theta, phi) atinge seu valor máximo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o estado psi210(r,theta,phi) do átomo de hidrogênio: o valor médio lang<= rrang<= e o raio r onde a densidade de probabilidade radial atinge o máximo. Para isso precisamos do ramo radial R21(r) e usar integrais com pesos próprios de momentos e de probabilidade radial.

Passo 2

A parte radial para n=2, l=1 é
R21(r) =12raiz6,a0^3/2;ra0;e^-r/(2a0),
onde a0 é o raio de Bohr. Logo
l|R21(r)r|^2 =124,a0^5;r^2;e^-r/a0

Passo 3

Para calcular
lang<= rrang<==integral0^infty r^3,|R21(r)|^2,dr
note que
lang<= rrang<= =124,a0^5integral0^infty r^5,e^-r/a0,dr
Usando integral0^infty r^k e^-alpha rdr=k!alpha^,k+1
com k=5 e alpha=1/a0, obtemos
integral0^infty r^5 e^-r/a0dr =5!;a0^6=120,a0^6
Logo
lang<= rrang<= =124,a0^5;120,a0^6 =5,a0

Passo 4

A densidade de probabilidade radial é
P(r)=r^2,|R21(r)|^2 =124,a0^5;r^4,e^-r/a0
Para achar o máximo tomamos derivada nula:
dPdr =124,a0^5e^-r/a0r^3l(4-ra0r)=0
r=0 (mínimo) ou r=4,a0. O máximo não trivial é
rmax=4,a0

Resposta

a) lang<= rrang<==5,a0.
b) rmax=4,a0.

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