Questão
Demonstre que no espaço livre, com
e
, as equações de Maxwell são obtidas corretamente a partir de uma só função vetorial A que satisfaz
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em espaço livre (isto é, densidade de carga
podem ser obtidas definindo-se um único potencial vetorial (gauge de Coulomb em vácuo).
Passo 2
Mostramos primeiro que
De fato, como
e a divergência do rotacional é sempre zero, vem imediatamente
Passo 3
Verificamos a lei de Faraday
Passo 4
Agora a equação de Gauss para
:
Isto mostra
.
Passo 5
Por fim, a lei de Ampère–Maxwell sem correntes livres:
pois
. Mas
satisfaz a equação de onda
então
Resposta
Definindo
com
e
,
obtemos exatamente as quatro equações de Maxwell em espaço livre.
obtemos exatamente as quatro equações de Maxwell em espaço livre.