Questão n^circ 3

Demonstre que no espaço livre, com rho=0 e J=0, as equações de Maxwell são obtidas corretamente a partir de uma só função vetorial A que satisfaz
nabla A=0 , nabla^2 A-1c^2 partial^2 Apartial t^2=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em espaço livre (isto é, densidade de carga
podem ser obtidas definindo-se um único potencial vetorial (gauge de Coulomb em vácuo).

Passo 2

Mostramos primeiro que
nablacdot B=0
De fato, como B=nablatimesA e a divergência do rotacional é sempre zero, vem imediatamente
nablacdot B =nablacdot(nablatimesA) =0

Passo 3

Verificamos a lei de Faraday
nablatimes E =-1c,nablatimespartial Apartial t =-1c,partialpartial t(nablatimesA) =-1c,partial Bpartial t

Passo 4

Agora a equação de Gauss para E:
nablacdot E =-1c,nablacdotpartial Apartial t =-1c,partialpartial t(nablacdot A) =-1c,partialpartial t(0) =0
Isto mostra nablacdotE=0.

Passo 5

Por fim, a lei de Ampère–Maxwell sem correntes livres:
nablatimes B =nablatimes(nablatimes A) =nabla(nablacdot A)-nabla^2 A =-nabla^2 A,
pois nablacdotA=0. Mas A satisfaz a equação de onda
nabla^2A =1c^2,partial^2Apartial t^2,
então
nablatimes B =-1c^2,partial^2Apartial t^2 =1c,partialpartial tl(-tfrac1c,partial Apartial tr) =1c,partial Epartial t

Resposta

Definindo
B=nablatimes A, E=-1c,partial Apartial t,
com nablacdotA=0 e
nabla^2A-tfrac1c^2,partial^2tA=0,
obtemos exatamente as quatro equações de Maxwell em espaço livre.

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