A função de onda, solução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio, pode ser escrita como produto de uma função radial e uma parte angular [harmônico esférico, . A Equação Radial para o átomo de hidrogênio pode ser escrita como:
onde é a massa reduzida do sistema e .
a) Faça a análise assintótica ( er ) do comportamento da função de onda radial;
b) Resolva a equação radial (sugestão: use o método das séries de potência);
c) Obtenha as soluções, fisicamente aceitáveis, para a energia do sistema.
Passo 1
Vamos recapitular o enunciado: temos a equação radial do átomo de hidrogênio
com . Precisamos de três coisas:
a) comportamento assintótico de quando e ;
b) resolver a equação por séries de potência;
c) extrair os níveis de energia fisicamente aceitáveis.
Passo 2
Análise em :
Quando é muito pequeno, o termo e são menos singulares que o termo centrífugo . Logo a equação aproxima-se de
Buscando , temos
As raízes são e ; rejeitamos pois geraria . Portanto
Passo 3
Análise em rtoinfty:
Para estados ligados temos E<0. Em rtoinfty sobram só os termos cinético e E:
-hbar^22muU''(r)approx E,U(r)
Chamando kappa=raiz-2mu E/hbar>0, a equação vira U''=kappa^2U, com solução
U(r)sim e^pmkappa r
Só aceitamos o decaimento, isto é
U(r)xrightarrowrtoinftye^-kappa,r
Passo 4
Método das séries de potência: 1) Definimos a variável adimensional rho=2kappa r. 2) Propomos
U(r)=r^l+1e^-kappa rv(rho)
3) Ao substituir na equação radial obtém-se uma equação de Laguerre para v(rho), cujo desenvolvimento em série
v(rho)=sumj=0^inftyaj,rho^j
leva a uma relação de recorrência entre aj e aj-1. Para que U(r) não exploda em rhotoinfty, a série deve terminar num índice máximo jmax. Isso impõe a condição de quantização
jmax=n-l-1inN0
Passo 5
Condição de término da série Rightarrow níveis de energia:
O índice principal n satisfaz n=l+1+jmax, logo n=1,2,3,dots. A partir daí mostra-se que