A função de onda, solução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio, pode ser escrita como produto de uma função radial R(r) e uma parte angular [harmônico esférico, Yl m(theta, varphi)]. A Equação Radial para o átomo de hidrogênio pode ser escrita como:
-hbar^2 d^2 U(r)2 mu d r^2+[l(l+1) hbar^22 mu r^2-e^2r] U(r)=E U(r)
onde mu é a massa reduzida do sistema e U(r)=r R(r).
a) Faça a análise assintótica ( r 0 er infty ) do comportamento da função de onda radial;
b) Resolva a equação radial (sugestão: use o método das séries de potência);
c) Obtenha as soluções, fisicamente aceitáveis, para a energia do sistema.

Passo 1

Vamos recapitular o enunciado: temos a equação radial do átomo de hidrogênio
-hbar^22mud^2U(r)dr^2+l[l(l+1),hbar^22mu,r^2-e^2rr]U(r)=E,U(r),
com U(r)=r,R(r). Precisamos de três coisas:
a) comportamento assintótico de U(r) quando rto0 e rtoinfty;
b) resolver a equação por séries de potência;
c) extrair os níveis de energia fisicamente aceitáveis.

Passo 2

Análise em rto0:
Quando r é muito pequeno, o termo -e^2/r e E são menos singulares que o termo centrífugo propto1/r^2. Logo a equação aproxima-se de
-hbar^22mu,U''(r)+l(l+1),hbar^22mu,r^2,U(r)approx0
Buscando U(r)sim r^alpha, temos
-alpha(alpha-1)r^alpha-2+;l(l+1),r^alpha-2=0 ;Longrightarrow;alpha(alpha-1)=l(l+1)
As raízes são alpha=l+1 e alpha=-l; rejeitamos alpha=-l pois geraria Utoinfty. Portanto
U(r)xrightarrowrto0r^,l+1

Passo 3

Análise em rtoinfty:
Para estados ligados temos E<0. Em rtoinfty sobram só os termos cinético e E:
-hbar^22muU''(r)approx E,U(r)
Chamando kappa=raiz-2mu E/hbar>0, a equação vira U''=kappa^2U, com solução
U(r)sim e^pmkappa r
Só aceitamos o decaimento, isto é
U(r)xrightarrowrtoinftye^-kappa,r

Passo 4

Método das séries de potência:
1) Definimos a variável adimensional rho=2kappa r.
2) Propomos
U(r)=r^l+1e^-kappa rv(rho)
3) Ao substituir na equação radial obtém-se uma equação de Laguerre para v(rho), cujo desenvolvimento em série
v(rho)=sumj=0^inftyaj,rho^j
leva a uma relação de recorrência entre aj e aj-1. Para que U(r) não exploda em rhotoinfty, a série deve terminar num índice máximo jmax. Isso impõe a condição de quantização
jmax=n-l-1inN0

Passo 5

Condição de término da série Rightarrow níveis de energia:
O índice principal n satisfaz n=l+1+jmax, logo n=1,2,3,dots. A partir daí mostra-se que
kappa=mu e^2hbar^2n Longrightarrow E=-mu e^42hbar^2n^2

Resposta

As energias permitidas são
En=-mu e^42hbar^2n^2, n=1,2,3,dots

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