3- Uma partícula de massa m=4 sai da origem e do repouso e move-se sujeita a uma força F=t^2 imath+sen(t) k. Num dado instante, ela explode em dois pedaços de massa 1 e 2 . Se no instante t=3 o menor pedaço está em r=2 jmath, onde está o maior pedaço?

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa total M=4 que parte da origem com velocidade nula e é sujeita à força
vec F(t)=t^2,hatimath+sin(t),hat k
Num certo instante (que chamamos de explosão) ela divide-se em dois pedaços de massas m1=1 (o menor) e m2=M-m1=3. A partir dessa explosão, as forças externas continuam agindo, mas a posição do centro de massa continua a mesma da partícula original. No instante t=3 observa-se que o pedaço de massa 1 está em
vec r1(3)=2,hat jmath
Queremos achar vec r2(3), a posição do pedaço de massa 3.

Passo 2

Calculemos a trajetória do centro de massa antes e depois da explosão (ela é a mesma da partícula original). Primeiro a aceleração do CM:
vec a(t)=vec F(t)M =t^24,hatimath+sin t4,hat k
Integramos para obter a velocidade (com vec v(0)=vec 0):
vx(t)=integral0^ttau^24,dtau=t^312, vz(t)=integral0^tsin tau4,dtau=1-cos t4,
e vy(t)=0.
Em seguida integramos para achar a posição (com vec r(0)=vec 0):
rx(t)=integral0^ttau^312,dtau=t^448, rz(t)=integral0^t1-cos tau4,dtau=t-sin t4,
e ry(t)=0.

Passo 3

Usamos a relação do centro de massa no instante t=3:
M,vec rrm CM(3)=m1,vec r1(3)+m2,vec r2(3)
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vec r2(3) =M,vec rrm CM(3)-m1,vec r1(3)m2

Passo 4

Avaliamo-lo em t=3:
vec rrm CM(3) =3^448,hatimath+0,hatjmath+3-sin 34,hat k =2716,hatimath+3-sin34,hat k
Substituindo em vec r2(3) com M=4, m1=1, m2=3 e vec r1(3)=2,hatjmath:
vec r2(3) =4l(2716,hatimath+0,hatjmath+3-sin34,hat kr) -l(0,hatimath+2,hatjmath+0,hat kr)3 =274,hatimath-2,hatjmath+(3-sin3),hat k3
Simplificando:
vec r2(3) =2712,hatimath-23,hatjmath+3-sin33,hat k =94,hatimath-23,hatjmath+l(1-sin33r),hat k

Resposta

boxedvec r2(3) =94,hatimath-23,hatjmath+l(1-sin33r),hat k

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