Para as funções pede-se:
I. Domínio e imagem;
IV. Seus pontos de inflexão;
V. Assíntotas
f(x)=3-(x+1)^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3-(x+1)^3
e pede:
I. Domínio e imagem;
IV. Pontos de inflexão;
V. Assíntotas.
Aqui estamos tratando de uma função polinomial de grau 3, então vamos usar as propriedades de polinômios (continuidade, derivadas simples, comportamento no infinito etc.) para responder.

Passo 2

Como f é um polinômio de grau 3, ela está definida para todo xinR. Logo o domínio é
,xmid xinR=R
Além disso, polinômios ímpares de grau ímpar têm imagem R, pois quando xto+infty temos f(x)to-infty e quando xto-infty temos f(x)to+infty. Assim a imagem é
Im(f)=R

Passo 3

Para achar pontos de inflexão, calculamos a segunda derivada. Primeiro a derivada primeira:
f'(x)=-3(x+1)^2
Em seguida a segunda derivada:
f''(x)=-6(x+1)
O ponto de inflexão ocorre quando f''(x)=0, isto é em x+1=0, ou seja
x=-1
O valor de f nesse ponto é
f(-1)=3-0=3
Portanto o único ponto de inflexão é (-1,3).

Passo 4

Assíntotas verticais só aparecem quando a função não está definida em algum ponto, mas aqui o domínio é todo R, então não há assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais ou oblíquas investigam o comportamento de f(x) quando xtopminfty. Como f(x) cresce como -x^3 no infinito, não se aproxima de nenhuma reta de inclinação finita. Logo não há assíntotas horizontais nem oblíquas.

Resposta

I. Domínio: R. Imagem: R.
IV. Ponto de inflexão: (-1,3).
V. Não há assíntotas.

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