Para as funções pede-se:
I. Domínio e imagem;
IV. Seus pontos de inflexão;
V. Assíntotas
f(x)=3-(x+1)^{3}
I. Domínio e imagem;
IV. Seus pontos de inflexão;
V. Assíntotas
f(x)=3-(x+1)^{3}
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
I. Domínio e imagem;
IV. Pontos de inflexão;
V. Assíntotas.
Aqui estamos tratando de uma função polinomial de grau 3, então vamos usar as propriedades de polinômios (continuidade, derivadas simples, comportamento no infinito etc.) para responder.
I. Domínio e imagem;
IV. Pontos de inflexão;
V. Assíntotas.
Aqui estamos tratando de uma função polinomial de grau 3, então vamos usar as propriedades de polinômios (continuidade, derivadas simples, comportamento no infinito etc.) para responder.
Passo 2
Como
é um polinômio de grau 3, ela está definida para todo
. Logo o domínio é
Além disso, polinômios ímpares de grau ímpar têm imagem
, pois quando
temos
e quando
temos
. Assim a imagem é
Passo 3
Para achar pontos de inflexão, calculamos a segunda derivada. Primeiro a derivada primeira:
Em seguida a segunda derivada:
O ponto de inflexão ocorre quando
, isto é em
, ou seja
O valor de
nesse ponto é
Portanto o único ponto de inflexão é
.
Passo 4
Assíntotas verticais só aparecem quando a função não está definida em algum ponto, mas aqui o domínio é todo
, então não há assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais ou oblíquas investigam o comportamento de quando
. Como
cresce como
no infinito, não se aproxima de nenhuma reta de inclinação finita. Logo não há assíntotas horizontais nem oblíquas.
Assíntotas horizontais ou oblíquas investigam o comportamento de
Resposta
I. Domínio:
. Imagem:
.
IV. Ponto de inflexão: .
V. Não há assíntotas.
IV. Ponto de inflexão:
V. Não há assíntotas.